Чтение онлайн

Таким образом, для того, чтобы частоты самого низкого из возможных для каждой из струн звуков относились как целые числа, величина L2/L1 должна выражаться простой целочисленной дробью, то есть рациональным числом (в этом случае и для каждого обертона частоты будут удовлетворять тому же условию). Звуки обеих струн в этом случае сольются, как если бы щипнули одну струну, а не две. По всей видимости, именно поэтому мы воспринимаем получившееся созвучие как консонанс.

Например, если L2/L1 = 1/2, то на каждое колебание первой струны придется два полных цикла второй. В этом случае говорят, что звуки, издаваемые первой и второй струнами, образуют интервал октаву. Все клавиши ноты до на клавиатуре фортепиано производят музыкальные звуки, каждый из которых отделен от соседнего интервалом в одну октаву. Если отношение L2/L1 = 2/3, то получающийся интервал называется квинтой. Например, это справедливо в случае, когда первая струна звучит на ноте до первой октавы с главной частотой 261,63 колебаний в секунду, а вторая струна, длина которой 2/3 от первой, звучит на ноте соль первой октавы с частотой 3/2 x 261,63 = 392,45 колебаний в секунду [29] . Если соотношение L2/L1 = 3/4, получившийся интервал называется терцией.

Другая причина того, что эти сочетания нот благозвучны, заключается в обертонах. Чтобы N1– й обертон струны 1 имел ровно ту же частоту, что и N2– й обертон струны 2, должно выполняться равенство vN1/2L1 = vN2/2L2, и таким образом:

И вновь отношение длин двух струн выражается рациональным числом, хотя и по иной причине. Но если это отношение окажется равно какому-либо нерациональному числу, например, или квадратному корню из 2, то обертоны двух струн никогда не совпадут точно, хотя частоты более высоких обертонов могут сходиться как угодно близко. Звук, который при этом получается, ужасен.

Так называемая теорема Пифагора – самая знаменитая во всей планиметрии. Хотя ее доказательство приписывают ученикам и последователям Пифагора, например, Архиту Тарентскому, в точности история ее создания неизвестна. Здесь я приведу простейшее доказательство, основанное на понятии пропорциональности, широко применявшемся древнегреческими математиками.

Рассмотрим треугольник с вершинами A, B и P, у которого угол при вершине P является прямым. Теорема утверждает, что площадь квадрата, сторона которого равна AB (гипотенуза треугольника), равняется сумме площадей квадратов, стороны которых равны двум другим сторонам того же треугольника, катетам AP и BP. Говоря языком современной алгебры, рассматривая AB, AP и BP как численные величины, равные длинам указанных сторон, должно быть справедливо равенство:

Чтобы доказать теорему, следует провести перпендикуляр к гипотенузе AB из вершины P. Обозначим точку его пересечения с гипотенузой C (см. рис. 2). Таким образом мы поделим исходный треугольник ABP на два меньших прямоугольных треугольника APC и BPC. Легко видеть, что оба меньших треугольника подобны исходному прямоугольному треугольнику, то есть все углы в них те же самые, что и в большом. Если мы обозначим углы при вершинах A и B (альфа) и (бета), то у треугольника ABP будут углы , и 90°, и значит, + + 90° = 180°. В треугольнике APC два угла равны и 90°, значит, третий угол равняется . Аналогично в треугольнике BPC два угла равны и 90°, следовательно, третий угол равен .

Так как все три треугольника взаимно подобны, их соответствующие стороны пропорциональны. Это означает, что длина катета AC относится к длине гипотенузы AP треугольника ACP так же, как длина катета AP к длине гипотенузы AB в исходном треугольнике ABP. Соответственно, BC относится к BP в той же пропорции, что и BP к AB. Мы можем выразить это в более привычной алгебраической форме, связав длины сторон пропорцией:

Отсюда очевидно следует, что AP^2 = AC x AB, а BP^2 = BC x AB. Складывая два этих уравнения вместе, получаем:

Но AC + BC = AB, что и требовалось доказать.

Рис. 2. Доказательство теоремы Пифагора. Согласно теореме, сумма площадей квадратов, стороны которых равны катетам AP и BP, равняется площади квадрата, стороной которого является гипотенуза AB. Для доказательства теоремы из точки P в точку C проводится перпендикуляр к гипотенузе AB.

Математикам Древней Греции были известны лишь рациональные числа. К ним относятся все целые числа, например, 1, 2, 3 и т. д. или целочисленные дроби – 1/2, 2/3 и т. п. Если отношение длин двух отрезков выражалось целочисленной дробью, древнегреческий математик считал, что они «соизмеримы». К примеру, если они находятся в отношении 3/5, это означает, что если один из этих отрезков отложить три раза, а другой пять раз, то получится два отрезка одинаковой длины. Представьте себе потрясение античных математиков, выяснивших, что не все отрезки являются соизмеримыми. Например, в прямоугольном равнобедренном треугольнике гипотенуза несоизмерима ни с одним из двух одинаковых катетов. В понятиях современной математики, поскольку, согласно теореме Пифагора квадрат гипотенузы такого треугольника равен удвоенному квадрату длины любого из катетов, длина гипотенузы равняется произведению длины любого из катетов на квадратный корень из 2. Это означает, что квадратный корень из 2 не является рациональным числом. Доказательство этого факта Евклидом в книге X «Элементов» базируется на первоначальном предположении обратного, что существует рациональное число, квадрат которого равен 2, после чего Евклид опровергает это предположение.

Допустим, что есть рациональное число, выраженное дробью p/q (где p и q – целые числа), чей квадрат равен 2:

В таком случае будет бесконечное количество таких пар чисел, которые можно получить, умножая p и q на любой натуральный множитель, но предположим, что целые числа p и q – наименьшие целые, для которых верно выражение (p/q) 2 = 2. Из уравнения выше следует, что

Отсюда очевидно, что p^2 – четное число, но так как произведение двух любых нечетных чисел есть нечетное число, то p должно быть только четным. То есть мы можем записать равенство p = 2p', где p' – целое число. Но тогда