Чтение онлайн

поэтому для любой точки эллипса справедливо:

b <= r <= a. (2)

Обратим внимание, что в точках пересечения горизонтальной оси y = 0, поэтому x^2 = a^2, и, значит, x = ±a. Таким образом, уравнение (1) описывает эллипс, наиболее длинный диаметр которого простирается от -a до +a в горизонтальном направлении. Также в точках, где эллипс пересекает вертикальную ось, выполняется x = 0, поэтому y^2 = b^2, и, значит, y = ±b, а, следовательно, уравнение (1) описывает эллипс, наиболее короткий диаметр расположен вертикально от -b до +b (см. рис. 12). Параметр a называется большой полуосью эллипса. Принято выражать другой параметр эллипса, его эксцентриситет, как

В общем случае эксцентриситет находится в пределах от 0 до 1. Эллипс с эксцентриситетом e = 0 есть окружность с радиусом a = b. Эллипс с эксцентриситетом e = 1 сплюснут настолько, что является просто отрезком горизонтальной оси с вертикальной координатой y = 0.

Другое классическое определение эллипса таково, что это множество точек на плоскости, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек (фокусов эллипса) постоянна. Для эллипса, описываемого уравнением (1), эти две точки расположены в координатах х = ±ea, y = 0, где e – эксцентриситет, определяемый тождеством (3). Пара расстояний от этих двух точек до произвольной точки на линии эллипса, координаты x и y которой удовлетворяют уравнению (1), выражается таким образом:

Так что их сумма действительно является постоянной величиной:

Это можно рассматривать как обобщение классического определения окружности как множества точек, отстоящих на постоянное расстояние от фиксированной точки.

Поскольку оба фокуса эллипса полностью симметричны, средние расстояния r+ и r– до точек на эллипсе (при равном весе усреднения для любого сегмента заданной длины, взятого на линии эллипса) от двух фокусов должны быть равны: r+ = r– , и значит, из равенства (5) получаем:

Это же число является средним между самым большим и самым малым расстоянием от точек на эллипсе до любого из фокусов:

Данное Аполлонием Пергским исходное определение эллипса таково: это коническое сечение, которое получается, если рассечь конус плоскостью, наклоненной к оси конуса. Выражаясь современным математическим языком, конус с ориентированной вертикально осью – это трехмерное множество точек, удовлетворяющее такому условию: радиусы круговых поперечных сечений конуса пропорциональны расстоянию, отложенному по вертикали:

где u и y – расстояния, отложенные вдоль двух взаимно перпендикулярных горизонтальных направлений, z – расстояние вдоль вертикальной оси, а – положительный коэффициент, определяющий форму конуса (по какой причине мы обозначили первую горизонтальную координату u, а не x, вы скоро поймете). Вершиной этого конуса является точка, в которой u = y = 0, а также z = 0. Плоскость, которая рассекает конус под углом, можно определить как множество точек, удовлетворяющих следующему равенству:

где и – еще два коэффициента, которые определяют, соответственно, угол наклона и высоту расположения плоскости (координаты мы определяем таким образом, что плоскость оказывается параллельной оси y). Совмещая равенства (8) и (9), получаем:

или, что то же самое,

Можно видеть, что это определение эквивалентно равенству (1), если мы определим входящие в него величины как

Обратите внимание, что отсюда e = , и это значит, что эксцентриситет зависит от формы конуса и от наклона секущей его плоскости, но не от высоты, на которой располагается эта плоскость.

Одним из выдающихся достижений Коперника было вычисление определенных значений для относительных размеров планетных орбит. Один простой пример – расчет радиусов орбит внутренних планет по величине их максимального видимого удаления от Солнца.

Рис. 13. Расположение Земли и внутренней планеты (Меркурия или Венеры) в момент наибольшего видимого удаления этой планеты от Солнца. Орбиты планеты и Земли изображены в виде двух окружностей.

Рассмотрим орбиту одной из внутренних планет, Меркурия или Венеры, приближенно полагая, что и орбита Земли, и орбита этой планеты – окружности, центр которых совпадает с Солнцем. В момент, который принято называть максимальной элонгацией, планета видна на небе на угловом расстоянии max от Солнца. В это время отрезок, соединяющий Землю и планету, есть часть прямой, касательной к ее орбите, поэтому угол между этой прямой и радиусом, проведенным от Солнца к планете, является прямым. Значит, эти два отрезка вместе с отрезком, соединяющим Землю с Солнцем, образуют прямоугольный треугольник (см. рис. 13). Гипотенузой в нем является радиус земной орбиты, поэтому отношение радиуса планетной орбиты rп к расстоянию между Землей и Солнцем rз есть синус угла max. Ниже приведена таблица углов максимальной элонгации, их синусов и реальных значений радиусов орбит rп Меркурия и Венеры, выраженных в единицах радиуса земной орбиты rз:

Небольшие различия между значениями синуса max и наблюдаемыми отношениями орбитальных радиусов rп/rз для внутренних планет к радиусу орбиты Земли объясняются отличиями в форме реальных орбит от идеальных окружностей с Солнцем в центре, а также тем фактом, что орбиты располагаются не строго в одной плоскости.

Представим себе «новую звезду» или иной астрономический объект, который неподвижен относительно звезд или очень незначительно перемещается по отношению к ним в течение суток. Допустим, что он находится гораздо ближе к Земле, чем звезды. Далее можно либо принять точку зрения, что Земля делает один оборот вокруг своей оси с востока на запад, либо что звезды вместе с этим объектом вращаются вокруг неподвижной Земли раз в сутки с запада на восток. В любом случае, поскольку мы видим объект в слегка разных направлениях в различное время ночи, его видимая позиция на фоне звезд будет смещаться. Это явление называется суточным параллаксом объекта. Измерение суточного параллакса позволяет определить расстояние до объекта, а в случае, если он так мал, что его не удается измерить, определяется минимальное расстояние, ближе которого астрономический объект находиться не может.