Чтение онлайн

Аполлоний доказал, что два конических сечения могут иметь не более 4 общих точек, а через 5 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой проходит единственное коническое сечение.

Аполлоний определял фокусы эллипса и гиперболы, как такие точки большой оси эллипса и вещественной оси гиперболы, которые лежат на поперечной стороне сечения, соответствующей этой оси, и обладают тем свойством, что произведение расстояний от этих точек до вершин сечения равно b2=ap и называл фокусы "точками начал приложений". Под приложениями он понимал прямоугольники, стороны которых равны расстояниям от фокуса до вершин сечения. Поэтому абсциссы х фокусов эллипса удовлетворяют условию x(2a-x)=ap и абсциссы х фокусов гиперболы удовлетворяют условию х(2а+х)=аp. Умножая обе части этих равенств на p/a мы получим в обоих случаях соотношение y2= p2, которое показывает, что в силу определения Аполлония, абсолютные величины ординат точек эллипсов и парабол, ординаты которых совпадают с ординатами фокусов, равны p.

Аполлоний доказал, что если вершины эллипса или гиперболы - точки А и B, касательные к сечениям в этих точках - прямые AC и BD, E - произвольная точка сечения, прямая CD - касательная к сечению в точке Е, а F и G - фокусы, то углы CFD и CGD - прямые для всех точек Е, а угол CEF равен углу GED.

В силу последнего равенства, если из одного фокуса эллипса выходят лучи света, то, отразившись от эллипса, они соберутся в другом его фокусе, и если в этом фокусе будет находится горючий материал, он загорится. Этим объясняется введенный Иоганнесом Кеплером (1571-1630) термин "фокус", происходящий от латинского слова focus - "очаг". В силу того же равенства, лучи, выходящие из фокуса гиперболы, отражаются от нее таким образом, что продолжения отраженных лучей пройдут через второй фокус гиперболы. Сам Аполлоний о свойствах световых лучей, выходящих из фокусов эллипса и гиперболы, не упоминал. Аполлоний доказал утверждения равносильные тому, что фокальные радиусы-векторы FE и GE точек Е сечения с абсциссами х в случае эллипса равны a+ex и a- ex, а в случае гиперболы равны ex+a и ex-a, где е - эксцентриситет эллипса, равный 1-p/a и эксцентриситет гиперболы, равный 1+p/a. Отсюда следует, что фокальные радиусы-векторы FE и GE точек Е эллипса и гиперболы равны произведениям е на расстояния от точек Е до прямых х = a/e и х =-a/e. Эти прямые в настоящее время называются директрисами эллипса и гиперболы.

Аполлоний не упоминал директрис, но указывал, что сумма фокальных радиусов-векторов точек эллипса и разность фокальных радиусов- векторов точек гиперболы постоянны и равны 2а.

Аполлоний не упоминал фокуса параболы и его свойств, в частности того свойства, которое использовал Архимед при обороне Сиракуз. По- видимому, Архимед, погибший при взятии Сиракуз римлянями, открыл это свойство фокуса параболы незадолго до своей гибели, и оно не было известно Аполлонию.

В V книги "Конических сечений"Аполлоний рассматривал проведение из любой точки плоскости нормалей к коническим сечениям, т.е. прямых перпендикулярных касательным в их точках касания. Аполлоний доказал, что отрезки этих нормалей являются минимальными или максимальными прямыми, проведенными из данных точек к коническим сечениям. Задача о проведении таких линий является частным случаем задачи об условном экстремуме, т.е. об определении максимума или минимума функции f(x,y) при условии, что переменные х, y связаны условием F(x, y) = 0.

Решение этой задачи в общем виде разработал Жозеф Луи Лагранж (1736 -1813), который свел ее к нахождению экстремума функции U(x, y) = f(x,y) + lF(x,y).

Вычисляя частные производные Ux и Uy для функции f(x,y) =(х -х0)2 + (y -y0)2

и для уравнения F(x,y) = 0 конического сечения, приравнивая Ux Uy' нулю и исключая из полученных равенств l, мы найдем уравнение той самой вспомогательной гиперболы, которую определил Аполлоний при проведении нормалей к коническому сечению из точки М с координатами хо и уо. Если это сечение пересекается с вспомогательной гиперболой в точках N и P, то искомыми нормалями являются прямые MN и MP.

Несомненно, что Лагранж разработал свой метод, изучая решение Аполлония, изложенное в V книге "Конических сечений", которая появилась в латинском переводе Галлея в 1710 г.

В том случае, когда точки N и P сливаются, т.е. вспомогательная гипербола касается конического сечения, отрезок MN называется радиусом кривизны конического сечения в точке N, а точка М называется центром кривизны сечения в точке N. В настоящее время геометрическое место центров кривизны кривой называется эволютой этой кривой.

Аполлоний сначала находит центр кривизны конических сечений в их вершинах и доказывает, что радиусы кривизны сечений в их вершинах равны половинам прямых сторон сечений, соответствующих осям, проходящим через эти вершины. Далее Аполлоний приводит пропорции равносильные уравнениям эволют параболы, эллипса и гиперболы. Эволюта параболы -полукубическая парабола, состоящая из двух вогнутых кривых, соединенных в точке возврата. Эволюта эллипса - астроида -замкнутая кривая, состоящая из четырех вогнутых кривых, соединенных попарно в точках возврата. Эволюта гиперболы - псевдоастроида, состоящая из двух ветвей, каждая из которых образована двумя вогнутыми кривыми, соединенными в точке возврата. Все эти кривые - алгебраические, первая - 3-го порядка, вторая и третья -6-го порядка. Точки возврата этих кривых - центры кривизны параболы, эллипса и гиперболы в их вершинах. Аполлоний не рассматривал строения этих кривых.

Равносильность пропорций Аполлония и уравнений эволют конических сечений была доказана Т.Л.Хизсом в 1896 г., однако его доказательства были изложены столь кратко, что остались почти не замеченными в ХХ веке, Аполлоний не указывает каким образом он пришел к этим пропорциям. Профессор Киевского университета М.Е.Ващенко - Захарченко (1825 -1912) в своей "Истории геометрии", опубликованной в 1883 г., высказал предположение, что Аполлоний владел элементами дифференциального исчисления, но в своих работах формулировал результаты, полученные с помощью этого исчисления, в терминах античной математики. Ващенко - Захарченко не рассматривал пропорций Аполлония, которые изучал Хизс, но так как эволюты конических сечений являются огибающими нормалей этих кривых, получить их уравнения без помощи дифференциального исчисления не представляется возможным.

В VI книге Аполлоний доказал, что все параболы подобны между собой, и нашел условия подобия эллипсов и гипербол. Из этих условий следует, что всякие два эллипса и всякие две гиперболы можно перевести друг в друга аффинным преобразованием. Из определения Аполлония конических сечений следует, что всякие два конические сечения можно перевести одно в другое проективным преобразованием.

Аполлоний определял диаметры конических сечений как геометрические места середин параллельных хорд этих сечений, поэтому эти сечения переходят в себя при косом отражении от их диаметров в направлении параллельных хорд. Аполлоний не рассматривал преобразований конических сечений, являющихся произведениями косых отражений от двух диаметров, эти произведения являются аффинными преобразованиями, сохраняющими площади фигур и называемыми в настоящее время параболическими, эллиптическими и гиперболическими поворотами. Многие теоремы Аполлония могут быть легко доказаны при помощи этих поворотов, например, известная теорема из VII книги о том, что параллелограммы, построенные на сопряженных диаметрах эллипса или гиперболы равновелики прямоугольнику, построенному на осях этих сечений.

Выше я упоминал о других математических сочинениях Аполлония, в частности, о "Плоских геометрических местах", где рассматриваются инверсии относительно окружностей и другие преобразования, переводящие "плоские геометрические места ", т.е. прямые линии и окружности, в такие же геометрические места, и о трактате "Касания", где инверсии относительно окружностей применялись для решение геометрических задач.

Я упоминал о работах Аполлония по астрономии, в частности, о его теории двичения планет с помощью деферентов и эпициклов. Отмечу, что мнение Аристотеля о том, что в "надлунном мире" тела могут двигаться с постоянной скоростью по прямым линиям и окружностям, лежащее в основе небесной механики Аполлония, было опровергнуто трудами Кеплера, Галилея и Ньютона, которые доказали, что на самом деле небесная механика основана на тех же принципах, что и земная, и что благодаря этому планеты и кометы движутся по коническим сечениям, в одном из фокусов которых находится Солнце. Созданная Аполлонием теория конических сечений нашла широкое применение в небесной механике.

Важное значение для астрономии имела стереографическая проекция сферы на плоскость, основанная на одном из первых предложений "Конических сечений" Аполлония, в котором доказано, что в наклонном круговом конусе кроме круговых сечений параллельных основанию имеется второе семейство круговых сечений. При стереографической проекции прямые, проектирующие точки окружности на сфере, образуют поверхность кругового конуса, в общем случае наклонного, и пересечение этой поверхности с плоскостью проекции является круговым сечением второго семейства. Поэтому при стереографической проекции окружности на сфере, не проходящие через центр проекции, изображаются окружностями на плоскости. Другим важным свойством этой проекции является ее конформность, т.е. сохранение углов между линиями. Стереографическая проекция применялась в изобретенном Аполлонием астрономическом инструменте "арахне"и в средневековых астролябиях, основанных на тех же принципах, что и инструмент Аполлония.

Менелай

Моя книга "История неевклидовой геометрии" начинается с рассмотрения сферической геометрии в "Сфериках" математиков I I - I вв. до н.э. Феодосия и Менелая. Особенно важна книга Менелая, в которой доказано, что сумма углов сферического треугольника больше двух прямых углов, а также найдена первая теорема сферической тригонометрии - теорема Менелая о полном сферическом четырехстороннике. В этой теореме роль синусов дуг играют хорды, стягивающие эти дуги.

Птолемей