Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы
Шрифт:
Если x >= 0, то 0 <= < /2 ; если x <= 0, то -/2 < <= 0.
Если arctg x = , то ctg = x и 0 < < .
Если x >= 0, то 0 < <= /2; если x <= 0, то /2 <= < .
Имеют место следующие соотношения [14] :
arcsin x + arccos x = /2; arctg x + arcctg x = /2;
14
Первое соотношение — неабсолютное тождество, остальные — абсолютные тождества.
arcsin (-x) = -arcsin x; arctg (-x) = -arctg x; arccos (-x) = - arccos x; arcctg (-x) = - arcctg x.
22.1. Докажите, что
2 arctg 1/4 + arctg 7/23 = /4.
22.2. Представьте выражение
arctg 7/9 + arcctg 8 + arcsin 2/4
в виде значения функции arcsin x.
22.3. Представьте выражение
arctg (-2) + arcsin 1/3 + arctg (- 1/3 )
в виде значения лишь одной обратной тригонометрической функции.
22.4. Вычислите сумму
22.5. Найдите
arccos (sin (x^2 + x– З)),
если
22.6. Докажите, что если 0 <= x <= 1, то
22.7. Докажите, что выражение arcsin
Решите уравнения:
22.8. tg (З arcsin x) = 1.
22.9. arcsin 3x/5 + arcsin 4x/5 = arcsin x.
22.10. arcsin 2x + arcsin x = /3.
22.11. arctg (2 + cos x) - arctg (2 cos^2 x/2) = /4.
22.12.
22.13. arctg (x– 1) + arctg x + arctg (x + 1) = arctg Зx.
Глава 23
Область определения. Периодичность
Областью определения функции может быть вся числовая ось (у = x^2, у = sin x), луч с принадлежащей ему граничной точкой (у = x , граничная точка x = 0 принадлежит области определения x >= 0) и с не принадлежащей ему граничной точкой (у = lg x), совокупность интервалов (замкнутых, открытых, полуоткрытых) и отдельных точек.
Важной характеристикой функции является ее периодичность. С помощью периодических функций можно описать явления, повторяющиеся через равные промежутки времени. Функция f(x) называется периодической, если существует такое число T /= 0, что для любого значения аргумента x числа x + T и x– T также являются значениями аргумента и выполняется равенство f(x + T) = f(x).
Если T — период f(x) и x — значение аргумента, то x + nТ, где n — целое число, — также значение ее аргумента, а пТ — период функции f(x). В частности, если T — период, то и -T — тоже период.
Наименьший положительный период называется основным периодом.
23.1. Найдите область определения функции
23.2. Найдите область определения функции
log3 log 1/2 (x^2 - x– 1).
23.3. При каких значениях x выражение
23.4. Найдите область определения функции
arccos (x^2 - 3х + 1) + tg 2х.
23.5. Где расположены точки плоскости, для координат которых выражение
принимает действительные значения ?
23.6. Докажите, что функция у = cos x^2 не является периодической.
23.7. Докажите, что если функция
f(x) = sin x + cos аx
периодическая, то а — рациональное число.
23.8. Найдите основной период функции
у = cos 3x/2– sin x/3.
Глава 24
Наибольшие и наименьшие значения
24.1. Найдите все значения x, при которых функция
sin x - cos^2 x– 1
принимает наименьшее значение.
24.2. Найдите наибольшее значение функции