Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы
Шрифт:
и найдите предел этой последовательности.
19.17. Найдите все положительные значения а, для которых все неотрицательные значения x, удовлетворяющие уравнению
cos [(8а– 3)x] = cos [(14а + 5)x]
и расположенные в порядке возрастания, образуют арифметическую прогрессию.
Глава 20
Суммирование
При решении задач, связанных с последовательностями, приходится доказывать утверждения такого типа: «Для любого целого n >= p (где p — целое) справедливо...»
Доказательство этих утверждений базируется на аксиоме индукции.
Пусть для некоторого утверждения А доказаны две теоремы.
Теорема 1. Утверждение А справедливо для n = p.
Теорема 2. Из условия, что утверждение А справедливо для всех p <= n <= k, следует, что оно справедливо для n = k + 1.
Тогда в качестве аксиомы (она называется аксиомой индукции) принимают, что утверждение А справедливо для всех n >= p (n, p и А — целые числа).
Метод доказательства, основанный на использовании аксиомы индукции, называется методом математической индукции.
С помощью метода математической индукции можно доказать формулы
20.1. Докажите неравенство
20.2. В арифметической прогрессии а1, а2, ..., аn первый член равен разности прогрессии: а1 = d. Считая число n данным, найдите
20.3. Найдите сумму
20.4. Найдите зависимость между натуральными n и А, если
где а /= 0, 1, -1.
20.5. Найдите коэффициент при хn в разложении
(1 + x + 2х^2 + ... + пхn)^2.
20.6. Решите неравенство
|x– 2х^2 + 4х^3 - 8х4 + ... + (-2)n– 1хn + ...| < 1.
20.7. Найдите сумму
Sn = 1 · 1! + 2 · 2! + 3 · 3! + ... + n · n!.
20.8. Найдите сумму
Sn = x + 4х^3 + 7х5 + 10х7 + ... + (3n– 2)х2n– 1.
20.9. Найдите сумму
Sn4 = 14 + 24 + 34 + ... + n4,
считая известными формулы для Sn, Sn^2, Sn^3 (см. с. 103).
20.10. Натуральные числа разбиты на группы
(1), (2, 4), (3, 5, 7), (6, 8, 10, 12), (9, 11, 13, 15, 17), ...
Найдите сумму чисел в n– й группе.
20.11. Вычислите выражение
20.12. Найдите сумму
1 + 2 · 2 + 3 · 2^2 + ... + 100 · 299.
20.13. Найдите сумму ряда
Глава 21
Соединения и бином
Эта глава содержит задачи по комбинаторике, а также задачи, связанные с возведением в степень двучлена ax + b. Выражение (ax + b) называют биномом Ньютона и рассматривают, как правило, его разложение в ряд по степеням x и коэффициенты этого разложения — они зависят от а и b — при различных степенях x.
Комбинаторика изучает всевозможные комбинации из элементов данного конечного множества. Простейшие из таких комбинаций: перестановки, размещения и сочетания.
Перестановки состоят из одних и тех же элементов некоторого множества и отличаются одна от другой только порядком их расположения. Число всех возможных перестановок для множества, состоящего из n различных элементов, обозначают P(n):
P(n) = 1 · 2 · 3 · ... · n = n! (1)
Символ n! (читается «эн факториал») обозначает произведение первых n чисел натурального ряда: 1! = 1, 2! = 2, 3! = 6, 4! = 24, ... . По определению 0! = 1.
Следующий вид комбинаций — размещения из n различных элементов, образующих множество, в группы по k различных элементов в каждой. При этом два размещения считают разными, если они отличаются либо элементами, либо порядком их расположения. Подобные ситуации возникают при размещении постояльцев в гостинице, зрителей в театральном зале, пассажиров в поезде. Число всех возможных размещений по k различных элементов в каждом размещении, формируемых из n различных элементов данного множества, обозначают Аnk. Имеет место формула:
Сочетания из n элементов по k элементов — комбинации, составленные из данных n элементов и содержащие по k (k <= n) элементов в каждой, отличающиеся одна от другой хотя бы одним элементом. С — число сочетаний из n по k:
Наряду с соединениями, в которые каждый из n различных элементов некоторого фиксированного множества входит один раз, можно рассматривать соединения с повторениями, допускающие появление одного и того же элемента более одного раза.