Чтение онлайн

Чтобы осуществить эту операцию, первое уравнение нужно предварительно умножить на у.

9.24. Почленно сложить каждые два уравнения: первое и второе, первое и третье, второе и третье. Из найденной системы получить уравнение относительно u = xyz. (!!)

Чтобы получить уравнение относительно u = xyz, достаточно перемножить полученные уравнения.

9.25. Каждое уравнение — квадратное относительно соответствующего xk. Решив все эти квадратные уравнения и сложив их решения, мы получим уравнение относительно s. Гарантировать равносильность при этом нельзя, но в условии задачи требуется найти только одно решение.

9.26. Если обозначить 7x– 11у = u, то отсюда можно выразить z через u и у. Таким образом, мы получим снова систему двух уравнений с двумя неизвестными. Из этой системы легко исключить у.

9.27. Из такой системы можно исключить у, одновременно избавляясь от иррациональностей: нужно возвести оба уравнения в квадрат и вычесть второе из первого.

9.28. Выразить 

9.29. Полученная после возведения в квадрат система уравнений позволяет легко определить u– v, а затем u и v. (!!)

При определении u и v и при последующем вычислении x и у нужно провести исследование. В результате будут использованы условия а > b > 0 и а + b < 1, а также введенные при возведении в квадрат ограничения x > 0, у > 0.

9.30. Наряду с решением x1, у1, z1 у системы обязательно есть решение -x1, -у1, z1. Таким образом, для единственности решения системы необходимо, чтобы эти два решения совпали. (!!)

Условие совпадения симметричных решений приведет к системе относительно а и b. Каждое из полученных значений а и b нужно проверить, так как мы воспользовались лишь необходимым условием единственности решения системы.

9.31. Подставив в первое и второе уравнения у = -x, мы получим два линейных уравнения относительно x^3. Выразить из каждого уравнения x^3 и приравнять эти два выражения. (!!)

Предыдущие рассуждения позволяют ограничить число рассматриваемых значений параметра а. Остается проверить, выполняются ли для каждого из оставшихся значений остальные условия задачи.

9.32. В качестве фиксированного значения b удобно выбрать b = 0. Мы придем к системе, из которой легко определить все возможные а. (!!)

Найденные значения а необходимо проверить.

9.33. Наряду с решением (x1, у1) система имеет решение (x1, -у1). Она может иметь единственное решение лишь при у = 0. Подставив это значение у, находим, что а = 0. Достаточно ли выполнение условия а = 0 для того, чтобы у системы было единственное решение?

9.34. После исключения

x^2/y^2– 2x/y + у^2 + 2x– 2у = 3.

Его не следует преобразовывать в уравнение четвертой степени. Если в качестве вспомогательного неизвестного z взять некоторое выражение, содержащее x и у, то получится квадратное уравнение относительно z.

9.35. Все прямые у = а(x + 5) + 4 проходят через точку (-5; 4). Построение графика функции у = |6 - |x– 3| - |x + 1|| удобно начать с построения графика функции

у = 6 - |x– 3| - |x + 1|.

9.36. Уравнение равносильно системе

У первого уравнения есть корни

Остается выяснить, когда их два, а когда один, а также, при каких а для каждого из них удовлетворяется участвующее в системе неравенство.

9.37. Для упрощения симметрических многочленов применяют подстановку x + 1/x = t. Здесь возможна похожая подстановка. Наличие в числителе каждой дроби множителя x упрощает решение.

9.38. Вы упростите вычисления, если обратите внимание, что 84 693 делится на 327.

10.1. Ввести обозначения а = 1 + k и b = 1 - k.

10.2. Обозначим выражение, стоящее в левой части неравенства, через P. Разделив его на а1а2...аn = 1, после несложных преобразований получим

Для оценки P удобно рассмотреть теперь Р^2 и заметить, что

10.3. Способ 1. Воспользоваться тем, что с > а и с > b, и оценить каждое слагаемое.

Способ 2. Применить свойство показательной функции, приняв во внимание, что а < с, b < с.