Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы
Шрифт:
10.5. Использовать условие а + b + с = 1, чтобы убедиться, что неравенство будет обязательно строгим.
10.7. Показательная функция (a/b)x , в силу условия задачи, является возрастающей.
10.8. Применить неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим к произведению каждых двух чисел, равноотстоящих от концов в выражении n!.
10.9. Способ 1. В неравенстве (1 - u)(v– 1) > 0 (см. указание I на с. 141) раскрыть скобки и воспользоваться неравенством между средним арифметическим и средним геометрическим чисел uv и w.
Способ 2. Воспользоваться неравенством u/v + v/u > 2 (сложить его с полученным в указании I).
10.10. Оценить произведение (p– а)(p– b)(p– с) суммой этих чисел можно, воспользовавшись неравенством
xyz <= (x + y + z)^3/27 .
10.12. Зная выражения у + z и уz через x, можно записать квадратное уравнение с коэффициентами, зависящими от x, корнями которого будут у и z.
10.13. Выразив у + z и уz через x, придем к квадратному уравнению, коэффициенты которого зависят от x. Поскольку в условии сказано, что x, у и z — действительные числа, дискриминант полученного уравнения не должен быть отрицательным. (!!)
Найденные границы изменения x, в силу симметрии данных уравнений, распространяются на у и z.
10.15. Чтобы данный трехчлен был отрицательным внутри некоторого отрезка, необходимо и достаточно, чтобы на концах отрезка он принимал неположительные значения.
10.16. Доказать, что условие а > 0 несовместно с требованием, в силу которого оба корня больше а.
10.17. Так как k /= 0 (иначе условие задачи неосуществимо), то парабола должна иметь один корень в интервале (-1, +1), а другой вне этого интервала.
Такое расположение параболы имеет место тогда и только тогда, когда значения трехчлена в точках -1 и 1 противоположны по знаку.
10.18. Если ветви параболы будут направлены вверх и, кроме того, парабола не будет пересекать положительную полуось Оx, то мы получим расположение параболы, необходимое и достаточное для выполнения условия задачи.
10.22. Числитель и знаменатель полученной дроби должны иметь разные знаки. Приходим к совокупности двух систем.
10.23. Неотрицательный множитель можно отбросить, исключив точки, в которых он обращается в нуль. Оставшееся неравенство удобно привести к виду, в котором правая и левая части неотрицательны, и возвести в квадрат с учетом соответствующих ограничений.
10.24. При x > 0 данное неравенство можно возвести в квадрат (учтя соответствующие ограничения), так как обе его части положительны. При x < 0 неравенство исследуется аналогично.
10.25. Составить квадратное неравенство относительно
10.26. Нельзя забывать о том, что под корнем должно стоять неотрицательное число, в то время как само а может быть и отрицательным.
10.27. Данное неравенство можно переписать в виде
22x <= 3 · 2x · 2x + 4 · 22x.
Поделив на 2x · 2x, получим неравенство, сводящееся к квадратному.
10.29. При x < 0 неравенство может удовлетворяться лишь при условии, что 2x– 1/3 - x = n — целое. Отберите те значения n, при которых число x оказывается отрицательным, и ответьте на вопрос, что будет при x = 0.
10.30. Выражение х^3 - 5х + 2 легко разложить на множители методом группировки: (х^3 - 4х) - (x– 2).
10.31. Нужно рассмотреть два случая в зависимости от расположения а относительно единицы.
10.32. Случай x = 0 исследуется непосредственной подстановкой. При x < 0 показатель степени должен быть целым числом. Здесь придется рассмотреть подслучаи в зависимости от того, будет ли это целое число четным или нечетным.
10.35. Если после приведения всех логарифмов к общему основанию перенести все члены неравенства в одну часть, то полученное выражение разлагается на множители, одним из которых будет 2 log5 x + 1.
10.36. Обозначив log2 (2х– 1) = y, можно привести это неравенство к квадратному.
10.38. После решения алгебраического неравенства нужно вернуться к прежним обозначениям. При этом приходится рассмотреть различные случаи в зависимости от величины а.