Семантическая концепция истины и основания семантики
Шрифт:
Определение истины можно очень просто получить из определения другого семантического понятия – понятия выполнимости.
Выполнимость есть отношение между произвольными объектами и определенными выражениями, называемыми пропозициональными функциями. Это выражения типа x бел, x больше, чем у и т. п. Их формальная структура аналогична структуре предложений, но они могут включать в себя так называемые свободные переменные (как х и у в выражении x больше, чем у), которые не могут входить в предложения.
При определении понятия пропозициональной функции для формализованных языков мы обычно пользуемся рекурсивным методом, т. е. сначала описываем пропозициональные функции простейшего вида (что, как правило, не встречает трудностей), а затем указываем операции, посредством которых из простых могут быть построены более сложные функции. Такой операцией может быть, например, образование логической дизъюнкции или конъюнкции двух данных функций, т. е. соединение их с помощью слов или либо и. Предложение теперь можно определить просто как пропозициональную функцию, не содержащую свободных переменных.
Что касается понятия выполнимости, то мы могли бы попытаться определить его так: данные объекты выполняют данную функцию, если последняя становится истинным предложением, когда свободные переменные в ней мы заменяем именами этих объектов. В этом смысле, например, снег выполняет пропозициональную функцию х бел, так как предложение снег бел истинно. Однако, даже оставляя в стороне другие трудности, мы не можем воспользоваться этим методом, поскольку хотим употребить понятие выполнимости для определения истины.
Для определения понятия выполнимости нам лучше вновь обратиться к рекурсивной процедуре. Сначала мы указываем, какие объекты выполняют простейшие пропозициональные функции, а затем формулируем условия, при которых данные объекты выполняют сложную функцию, предполагая при этом, что нам известно, какие объекты выполняют более простые функции, из которых построена сложная функция. Так, например, мы говорим, что данные числа выполняют логическую дизъюнкцию х больше, чем у или х равно у, если они выполняют хотя бы одну из функций x больше, чем у или x равно у. Как только получено общее определение выполнимости, мы тотчас же замечаем, что оно автоматически применимо также к тем особым пропозициональным функциям, которые не содержат свободных переменных, т. е. к предложениям. Выясняется, что для предложения возможны лишь два случая: предложение выполняется либо всеми объектами, либо ни одним из них. Отсюда мы легко получаем определение истинности и ложности: предложение истинно, если оно выполняется всеми объектами, и ложно в противном случае [17] .
17
При осуществлении этой идеи возникает определенная техническая трудность. Пропозициональная функция может содержать произвольное число свободных переменных, а логическая природа понятия выполнимости изменяется в зависимости от этого числа. Когда речь идет о функциях с одной переменной, то обсуждаемое понятие является бинарным отношением между этими функциями и единичными объектами; для функций с двумя переменными оно становится тернарным отношением между функциями и парами объектов и т. д. Таким образом, мы имеем дело, строго говоря, не с одним понятием выполнимости, а с бесконечным множеством таких понятий, и оказывается, что эти понятия не могут быть определены независимо одно от другого и все должны вводиться одновременно.
Для преодоления этой трудности мы используем математическое понятие бесконечной последовательности (или, может быть, конечной последовательности с произвольным числом терминов). Мы договариваемся рассматривать выполнимость не как многоместное отношение между пропозициональными функциями и бесконечным числом объектов,как бинарное отношение между функциями и последовательностями объектов. При таком допущении формулировка общего и точного определения выполнимости больше не представляет никаких трудностей. Теперь истинное предложение можно определить как предложение, которое выполняется каждой последовательностью.
(Может показаться странным, что мы избрали окольный путь определения истинности предложений вместо того, чтобы использовать, например, прямую рекурсивную процедуру. Причина заключается в том, что сложные предложения образуются из более простых пропозициональных функций, но не всегда из более простых предложений, поэтому неизвестен общий рекурсивный метод, применимый специально к предложениям.)
Из этого беглого наброска не видно, где и как в рассуждение включается предположение о большем богатстве мета-языка. Это выясняется лишь при более детальном и формальном построении [18] .
18
Для того чтобы рекурсивно определить понятие выполнимости, мы должны использовать определенную форму рекурсивного определения, не разрешенную в объектном языке. Поэтому существенное богатство мета-языка может заключаться просто в наличии этого типа определения, С другой стороны, известен общий метод, позволяющий устранить все рекурсивные определения и заменить их обычными, явными определениями. Когда мы пытаемся применить этот метод к определению выполнимости, мы видим, что должны либо ввести в мета-язык переменные более высокого логического типа, чем переменные объектного языка, либо задать аксиоматически в мета-языке существование классов, более широких по объему, чем все те классы, существование которых может быть установлено в объектном языке. (См. работы: Tarski А. (1935), р. 393; Tar-ski A. (1939), р. 110)
12. Следствия данного определения.
Определение истины, набросок которого был дан выше, приводит ко многим интересным следствиям.
В первую очередь, это определение оказывается не только формально корректным, но также и материально адекватным (в смысле раздела 4), иными словами, из него следуют все эквивалентности вида Т. В этой связи важно заметить, что условия материальной адекватности единственным образом детерминируют объем термина истина. Поэтому любое определение истины, которое материально адекватно, будет необходимо эквивалентно построенному выше. Семантическая концепция истины не дает нам, так сказать, возможности выбирать между различными неэквивалентными определениями этого понятия.
Кроме того, из нашего определения мы можем дедуцировать различные законы общего характера. В частности, с его помощью мы можем доказать законы противоречия и исключенного третьего, столь важные для аристотелевской концепции истины, т. е. мы можем показать, что только одно из двух противоречащих друг другу предложений истинно. Эти семантические законы не следует отождествлять с родственными логическими законами противоречия и исключенного третьего. Последние принадлежат пропозициональному исчислению, т. е. наиболее элементарной части логики, и вообще не включают в себя термина истинно.
Другие важные результаты можно получить, применяя теорию истины к формализованным языкам очень широкого класса математических дисциплин. Из этого класса исключаются лишь дисциплины элементарного характера и весьма элементарной логической структуры. Оказывается, что для дисциплин этого класса понятие истины никогда не совпадает с понятием доказуемости, так как хотя все доказуемые предложения истинны, однако существуют истинные предложения, которые недоказуемы [19] . Отсюда вытекает, далее, что каждая такая дисциплина непротиворечива, но неполна. Это означает, что из любых двух противоречащих друг другу предложений доказуемо самое большее одно из них и существует пары противоречащих друг другу предложений, ни одно из которых недоказуемо [20] .
19
Благодаря развитию современной логики понятие математического доказательства подверглось серьезному упрощению. Предложение данной формализованной дисциплины доказуемо, если оно может быть получено из аксиом этой дисциплины с помощью определенных простых и чисто формальных правил вывода, таких, например, как правило отделения и подстановки. Таким образом, чтобы показать, что все доказуемые предложения истинны, достаточно доказать, что все предложения, принятые в качестве аксиом, истинны и что правила вывода, применяемые к истинным предложениям, вновь приводят к истинным предложениям. Обычно это не представляет трудностей.
С другой стороны, вследствие элементарной природы понятия доказуемости его точное определение требует лишь простых логических средств. В большинстве случаев такие логические средств имеются в самой формализованной дисциплине (к которой относится понятие доказуемости). Однако нам известно, что в отношении определения истины дело обстоит иначе. Поэтому, как правило, понятия истины и доказуемости не могут совпадать, а так как каждое доказуемое предложение истинно, должны существовать истинные предложения, которые недоказуемы.
20
Таким образом, теория истины дает нам общий метод доказательства непротиворечивости для формализованных математических дисциплин. Однако нетрудно понять, что доказательство непротиворечивости, полученное этим методом, может обладать некоторой интуитивной ценностью, т. е. увеличивать нашу веру в то, что рассматриваемая дисциплина действительно непротиворечива только в том случае, если нам удалось дать определение истины в терминах мета-языка, не содержащего объектный язык в качестве своей части (см. замечание в разделе 9) Только в этом случае дедуктивные допущения мета-языка могут быть интуитивно проще и более очевидны, чем допущения объектного языка, хотя условие существенного богатства будет формально выполнено. (См. к этому также работу: Tarski А. (1936), р. 7).
Неполнота обширного класса формализованных дисциплин является существенным содержанием фундаментальной теоремы К. Гёделя (см. работу: Godel К. (1931), р. 187ff). Объяснение того факта, что теория истины прямо приводит к теореме Гёделя, является достаточно простым, При выводе результата Гёделя из теории истины для нас существенно то, что определение истины нельзя дать в мета-языке, который столь же богат, как объектный язык (см. сноску 19). Однако при обосновании этого используется метод рассуждения, очень тесно связанный с тем, который (в первый раз) использовал Гёдель. Можно добавить, что в своем доказательстве Гёдель очевидно руководствовался некоторыми интуитивными соображениями, связанными с понятием истины, хотя в явном виде это понятие в его доказательстве не встречается (см.: Godel К. (1931), р. 174).
13. Распространение полученных результатов на другие семантические понятия.
Большинство результатов, к которым мы пришли в предыдущем разделе при рассмотрении понятия истины, с соответствующими изменениями может быть распространено на другие семантические понятия, например на понятие выполнимости (включенное в предшествующие рассуждения), понятия обозначения и определения.
Каждое из этих понятий можно анализировать тем же способом, который был использован при анализе истины. Так, можно сформулировать критерии адекватного употребления этих понятий; затем можно показать, что использование каждого из этих понятий в соответствии с данными критериями в семантически замкнутом языке необходимо приводит к противоречию [21] ; опять-таки неизбежным оказывается различение объектного и мета-языка и в каждом случае существенное богатство мета-языка является необходимым и достаточным условием удовлетворительного определения рассматриваемого понятия. Таким образом, результаты, полученные при анализе одного из семантических понятий, применимы к решению общей проблемы основоположений теоретической семантики.
21
Понятия обозначения и определения приводят, соответственно, к антиномиям Греллинга-Нельсона и Ришара (см. сноску 11). Чтобы получить антиномию для понятия выполнимости, мы строим следующее выражение:
Пропозициональная функция Х не выполняет X.
Противоречие возникает при рассмотрении вопроса о том, выполняет ли это выражение, которое очевидно является пропозициональной функцией, само себя или нет.
В теоретической семантике мы можем определить и исследовать некоторые другие понятия, интуитивное содержание которых более сложно и чей семантический источник менее ясен. Мы имеем в виду, например, важные понятия следования, синонимии и значения [22] .
Здесь мы занимались теорией семантических понятий, относящихся к отдельному объектному языку (хотя наша аргументация не учитывала никаких специфических свойств этого языка). Однако мы могли бы рассмотреть также проблему разработки общей семантики для обширного класса объектных языков. Значительную часть наших предыдущих рассуждений можно распространить также и на эту общую проблему, однако в этой связи возникают некоторые новые трудности, которые не будут рассматриваться здесь. Я хотел бы лишь заметить, что аксиоматический метод (упомянутый в разделе 10) может оказаться наиболее пригодным для анализа именно этой проблемы [23] .
22
Все понятия, упоминаемые в данном разделе, могут быть определены с помощью выполнимости. Можно сказать, например, что данный термин обозначает некоторый объект, если этот объект выполняет пропозициональную функцию х тождествен Т, в которой Т представляет данный термин. Аналогично пропозициональная функция определяет данный объект, если последний является единственным объектом, выполняющим эту функцию. Определение следования см. в работе: Tarski A. (1937), а определение синонимии – в работе: Сатар R. (1942).
23
Общая семантика является предметом работы: Carnap R. (1942). См. также замечания в работе: Tarski A. (1935), р. 388.
II. ПОЛЕМИЧЕСКИЕ ЗАМЕЧАНИЯ
14. Является ли семантическая концепция истины правильной?
Полемическую часть данной статьи я хотел бы начать с некоторых общих замечаний.
Надеюсь, ничто из сказанного здесь не будет интерпретировано как претензия на то, что семантическая концепция истины является правильной или единственно возможной. У меня нет ни малейшего желания принимать какое-либо участие в этих бесконечных и ожесточенных дискуссиях на тему: Какова правильная концепция истины?. Должен сознаться, я не понимаю, о чем идет речь в этих спорах, ибо сама проблема столь неопределенна, что сколько-нибудь точное решение ее невозможно. Действительно, смысл, в котором используется фраза правильная концепция, как мне представляется, никогда не был ясным. Складывается впечатление, что в большинстве случаев эта фраза имеет почти мистический смысл, вытекающий из веры в то, что каждое слово имеет лишь одно подлинное значение (вид платоновской или аристотелевской идеи) и что все конкурирующие концепции пытаются выразить это единственное значение. Однако, поскольку они противоречат друг другу, успешной может быть лишь одна попытка, следовательно, правильной будет лишь одна концепция.