Чтение онлайн

Таким образом, начерченные на листке бумаги (то есть в евклидовой плоскости) параллельные Лобачевского имеют чисто условный вид, и поэтому, конечно, они пересекутся.

Чтобы не нарушить интуиции, выработанной евклидовой геометрией, можем изобразить указанный чертеж в несколько ином виде.] He зная, есть ли перпендикуляр АЕ единственная прямая, которая не встречается с DC, будем считать возможным, что существуют и другие линии, например AG, которые не встречаются с DC, сколько бы мы их ни продолжали. При переходе от пересекающих линии AF к непересекающим AG мы должны встретить линии АН параллельную DC2, - граничную линию, - по одну сторону которой ни одна линия AG не встречает DC, между тем как по другую сторону каждая линия AF пересекает линию DC. Угол HAD между параллелью АН и перпендикуляром AD называется углом параллельности; мы будем здесь обозначать его через П(Р) при AD = p [Это обозначение основано на том, что величина угла параллельности непостоянна: она меняется в зависимости от длины перпендикуляра АД. Когда длина перпендикуляра, уменьшаясь, стремится к нулю, угол параллельности, возрастая, стремится к 90°, а когда перпендикуляр уходит в бесконечность, этот угол становится равным нулю. Следовательно, в геометрии Лобачевского имеет место взаимозависимость угла и отрезка, что представляет самый существенный момент.].

Если П(р) есть прямой угол [То есть в случае геометрии Евклида], то продолжение АЕ' перпендикуляра АЕ также будет параллельно продолжению DB линии DC. Кроме параллели ЕЕ', все другие прямые при достаточном продолжении в обе стороны должны пересекать линию В С.

Если П(р) " 1/2 п [То есть в случае неевклидовой геометрии], то по другую сторону перпендикуляра AD под тем же углом DAK=П(Р) будет проходить еще одна линия А К, параллельная продолжению DB линии DC; таким образом, при этом допущении мы должны отличать еще сторону параллельности [Иными словами, прямая АН считается параллельной прямой ВС в сторону ДС, а прямая АК - параллельной той же прямой в сторону ДВ. Это получает еще более точное выражение, если говорить только о лучах, а не прямых: луч АН параллелен лучу ВС, а луч АК параллелен лучу С В; вместе с тем через точку А, лежащую вне луча ВС, во всяком случае (то есть как в евклидовой, так в неевклидовой геометриях) проходит один и только один параллельный ему луч AH]...

Сообразно этому при предположении П(р)= 1/2П линии могут быть только пересекающими или параллельными; если же принять, что П(Р)" 1/2П , то нужно допустить две параллели, одну по одну сторону перпендикуляра, другую по другую его сторону; кроме того, между остальными линиями нужно различать пересекающие и непересекающие: нк; при одном, так и при другом предположении признаком параллелизма служит то, что линия становится пересекающей при малейшем отклонении в ту сторону, где лежит параллель; таким образом, если АН параллельна DC, то каждая линия AF, сколь бы мал ни был угол HAF, пересекает ДС... Параллельность уже рассматривается во всей обширности [Таким образом, Лобачевский изменил само понимание параллелизма. Параллельными линиями Евклид называет такие, которые находятся в одной плоскости и, при неограниченном продолжении их, не пересекаются. Получается, что непересекающиеся и параллельные - одно и то же. Не так у Лобачевского. Из всех непересекающих данную прямую он выбирает лишь две крайне прямые линии и называет их параллельными. Все остальные прямые не пересекающие данную, он не считает параллельными данной (в настоящее время в математической литературе их обычно называют сверхпараллельными или расходящимися).

Аксиома параллельных Лобачевского в связи с этим получает уточнение и может быть сформулирована: если дана прямая ВС и не лежащая на ней точка А, то через точку А в плоскости ABC можно провести две прямые, параллельные данной прямой СВ (на чертеже это - прямые АН и АН; прямая ЕЕ' - евклидова параллель)] и служит основанием геометрии в самом общем виде, которой я дал название "Воображаемой геометрии".

Последние два слова, сказанные отчетливо, прозвучали как вызов. Лобачевский умолк и пристально всмотрелся в лица слушателей. Выражение этих лиц не обещало хорошего. Симонов явно скучал, развлекаясь обломком гусиного пера как зубочисткой. Никольский усиленно кивал головой и пожимал плечами, стремясь выразить согласие с чем-то, что нашептывал ему Брашман. Фукс, опираясь руками на широко расставленные колени, думал о чем-то своем, даже не стараясь прислушаться к докладу. Профессор химии Дунаев, небрежно перевалившись, что-то нашептывал сидевшему рядом розовощекому Купферу.

Николаю Ивановичу вдруг вспомнилась поговорка Дунаева, с которой начинал он обычно свой курс лекций по химии: "Алхимия, господа, есть мать химии. Дочь не виновата, что мать ее глуповата..."

Вот сейчас, в эту минуту, рождается новая наука. Но мать ее не глупая и невежественная алхимия, а мудрая геометрия, давно покорившая весь мир, царствующая в нем более двух тысячелетий. И все-таки "Воображаемая геометрия" дерзает встать рядом с матерью, а завтра, может быть, скажет, что и переросла ее. Завтра...

Но пока что Лобачевский, создатель этой новой геометрии, видел с кафедры лишь холодные недоверчивые взгляды сидящих перед ним людей - тех, кто его слушал: физиков, математиков, астрономов, философов.

А говорил он вещи, которые на самом деле странно было в то время услышать из уст ученого. Сумма углов треугольника всегда меньше двух прямых, утверждал он, причем, по мере бесконечного возрастания всех сторон треугольника, эта сумма стремится к нулю. Попробуйте представить себе треугольник, сумма углов которого ничему не равна! Подобных треугольников, как и вообще подобных фигур, существовать не может. В этой геометрии отсутствуют точные прямоугольники, даже квадраты...

– Да что ж это, Николай Иванович?
– вскочил Никольский.
– Государи мои!
– обратился он к окружающим.
– Я понимать отказываюсь.

– Нечего возмущаться, Григорий Борисович, - с иронией заметил Сергеев, - успокойтесь. Ведь геометрия уважаемого Николая Ивановича всего лишь воображаемая!

Чего только не может представить нам воображение, особливо горячее! Почему бы не вообразить, например, черное белым, круглое четырехугольным.

В зале засмеялись.

– Григорий Борисович!.. Петр Сергеевич!
– Ударом кулака по столу Симонов призвал их к порядку.
– Господа, свое суждение о новой геометрии будете высказывать после.. Прошу!
– он обернулся к Николаю Ивановичу.

Лобачевский стиснул челюсти так, что виски побелели.

Он понял: продолжать не следует. Глухая, непробиваемая стена стояла между ним и людьми, сидящими в этом сумрачном зале. Никто не понимал его и не хотел понять.

Слова о необычайном и сложном, почти фантастическом строении мира, эти слова, сказанные впервые на земле, были обращены к глухим. И что удивительно, среди коллег никому в данную минуту не пришла в голову простая мысль: ведь Лобачевский истинный математик - это всем известно и всеми признано; а раз так, может быть, и то, что сейчас он говорил им звонким от волнения голосом, вовсе не является бредом? Возможно, в этом есть какой-то ими еще не понятый смысл, и об этом стоит подумать?

– Я сказал все, господин председатель, - произнес Лобачевский, и голос его прозвучал сурово.

Симонов на какую-то секунду растерялся, не зная, что предпринять.

– Та-а-акс, - протянул он.
– Господа, кто бы хотел высказать свои соображения?

Ответом было гнетущее молчание. Сидели, потупив глаза: боялся каждый, как бы не встретиться взглядом с Лобачевским.

– Господа!
– снова заговорил Симонов.
– Полагаю нужным составить комиссию, коей и перепоручить глубокое изучение доклада уважаемого Николая Ивановича.

Это предложение сразу же поддержал ректор.

– Полагаю то же, - сказал он, - и предлагаю в оную комиссию Ивана Михайловича, Александра Яковлевича и Николая Дмитриевича.

Так и решили: Симонову, Купферу и Брашману рассмотреть "Сжатое изложение начал" и представить отзыв о нем отделению.

Лобачевский, ни с кем не прощаясь, направился к выходу Никто не сделал попытки задержать его. Вскоре, одевпшсь и выйдя на улицу, он почувствовал себя совсем опустошенным. Только тупая боль где-то глубоко в сердце напоминала, что свершилось нечто ужасное.

Вьюга все еще бушевала.

Снег снег вокруг... Исчезали и выплывали снова быстролетные кони с развевающимися по ветру длинными гривами с отчаянно заливистым звоном бубенцов.

Придерживая руками шапку, чтобы ветер не сорвал ее с головы Лобачевский долго смотрел на проносившиеся мимо тройки, слушал звон бубенцов, и казалось ему, что вон там, исчезая в снежной пыли, проносятся перед ним его детство и юность... Вспомнился Нижний... Сергеи Степанович дома, в окружении ребят. "Вам, дорогие, предстоит укротить и запрячь природу, как горячего коня, для службы человечеству, - говорит он с увлечением.- Тогда лишь тот кто сейчас беден и слаб, станет богатым и сильным Все это вам даст наука. И прежде всего математика, развитие которой тесно связано с процветанием государСТВИ снова это щемящее чувство: "Ничего не поняли! Неужели все провалилось? Неужели новая геометрия останется без отклика? Неужели столько лет затрачено впустую?