Чтение онлайн

Рассмотрим простое кубическое уравнение, при решении которого требуется найти кубический корень из единицы:

В случае с действительными числами решение вполне тривиально — единица. Однако данный многочлен имеет также два комплексных корня:

и

В самом грубом приближении комплексную плоскость можно было, как пирог, разделить на три равные части, каждая из которых являлась областью притяжения соответствующего корня.

Эта была именно та картинка, которую первоначально представлял себе Хаббард (и многие другие до него). Однако более скрупулезное компьютерное исследование выявило, что геометрия границ областей притяжения имеет гораздо более сложную форму.

Нанесенные на комплексную плоскость, три указанных корня образуют равносторонний треугольник. Коль скоро в качестве начальной точки выбрано любое комплексное число, вопрос заключается в том, чтобы увидеть, какое именно из трех решений даст вычисление по методу Ньютона. Это все равно что рассматривать данный метод как динамическую систему, а три решения — как три аттрактора. Метод Ньютона для кубического уравнения z3– 1 = 0 сводится к итерационной формуле:

Анализ этой формулы показывает, что решения кубического уравнения ведут себя странно. Представим комплексную плоскость в виде ровной поверхности, спускающейся к трем углублениям, окрашенным для наглядности в разные цвета. Шарик, начав катиться из любой точки на плоскости, приведет в одну из долин: состояние, в котором оказалась динамическая система, зависит от ее начального состояния. Наивное предположение, будто любое z0 будет сходиться к ближайшему из трех корней, следует отбросить по причине его несостоятельности. Например, начальное значение z0 = -1 сходится к 1, наиболее удаленному от него корню. Системный расчет показывает, как некоторые расчетные точки быстро приводят к одному из корней, другие словно бы прыгают рядом с ним совершенно произвольно, пока не приближаясь к решению. Иногда кажется, что точка может стать началом периодического цикла, который будет повторяться вечно, не достигая ни одного из трех возможных корней (неравновесная устойчивость).

Интересно, что форма этих областей удивительно напоминает множества Жюлиа для многочленов второй степени. Можно сказать, что существуют «хорошие» (по отношению к методу Ньютона) уравнения, для которых почти все начальные точки ведут к какому-либо корню, и «плохие», для которых метод Ньютона иногда приводит к появлению притягивающего цикла.

Линии границ в конце концов открыли Хаббарду особое, фрактальное свойство:

«между областями притяжения двух центров всегда появляется область притяжения третьего центра».

Непостижимо, но каждую пограничную точку окаймляли зоны всех трех центров — совершенно безумное лоскутное одеяло. На границе между любыми двумя центрами притяжения всегда расположена гирлянда островков третьего центра притяжения. Границы этих островков, в свою очередь, состоят из гирлянд островков меньшего размера и т. д.

Фрактал Ньютона, полученный методом Ньютона, примененного для поиска решений кубического уравнения Z3– 1 = 0. Один из корней лежит в белой области рисунка. Два других корня — в черной области рисунка. Пограничный слой между этими тремя корнями представляет собой фрактал. Каждая точка спиралеобразных границ соприкасается с тремя областями трех корней кубического уравнения

Границы Ньютона с разрешением 2048 х 2048 пикселей

Такая феерия была бы невозможна, если бы не фрактальная природа границ: непрерывно уменьшаясь в размерах, детали границ постоянно воспроизводят сами себя. В результате оказывается, что каждая точка такой фрактальной границы соседствует сразу с тремя областями притяжения.

Таков естественный результат конкуренции нескольких центров за доминирование на плоскости. Простые границы между территориями в результате соперничества возникают редко. Чаще имеет место нескончаемое филигранное переплетение и непрекращающаяся борьба даже за самые малые участки. Между двумя конкурентами порой возникает третий, который пользуется разногласиями двух других и насаждает свою область влияния. Может случиться, что один центр захватит всю плоскость, но и его власть имеет границы в виде изолированных точек, которые неподвластны его притяжению, — это, так сказать, «диссиденты». Пайтген и Рихтер в книге «Красота фракталов» поясняют:

«Простые контуры, отражающие противоборство противоположных принципов, являются исключением. Каждый большой конфликт сопровождают тысячи малых. Таким же образом типичной структуре границы соответствуют аналогичные структуры все меньших и меньших масштабов».

Удивительно, что столь сложная структура границ и чередующихся областей сформировалась в поле всего лишь трех точек притяжения. Траектория в поле притяжения трех тел заслуживает особого внимания.

Будучи предопределенной, она непредсказуема.

Эта непредсказуемость завораживает. Иначе почему же по всему миру продают игрушку — маятник, состоящий из подвешенного на конце нити железного шарика. Под маятником находятся три магнита, притягивающие шарик. Траектория шара выглядит весьма запутанно и очень чувствительна к исходным условиям: начальному положению шара, трению и силе гравитации.

После серии колебаний маятник замрет, а шарик зависнет точно над одним из трех магнитов. Но всегда ли шарик устремится к тому из аттракторов, который окажется ближайшим к его начальному положению? Отнюдь нет! Попробуйте — и убедитесь сами. При различных начальных условиях шарик описывает весьма замысловатую траекторию, а его конечное положение представляется совершенно непредсказуемым, будучи предопределенным. Иначе говоря, траектория шарика в поле притяжения трех магнитов есть траектория на фрактале — фрагмент странного аттрактора.

Существует много вариантов перехода от порядка к хаосу. Но в их разнообразии есть нечто неизменное, нечто типовое — это конкуренция нескольких центров за доминирование. Простые границы в результате такого соперничества возникают редко. Чаще имеет место филигранно точная и чрезвычайно сложная организация границ в поле притяжения простого фрактального аттрактора.

Существует множество разнообразных фрактальных границ. Это не только фрактальные границы Ньютона. Это, например, гиперболический синус, гиперболический косинус и многие другие. Все они описываются простыми по форме функциями (не сложнее формулы Ньютона), которые занимают ничтожно мало места в памяти компьютера, производят огромное разнообразие форм, для их хранения не хватит памяти даже самого мощного компьютера. И это напоминает генетическую организацию живой материи, принцип которой в том, что ограниченный набор генов определяет неограниченное разнообразие фенотипов организмов, иными словами:

геном контролирует феном.

Исследуя границы Ньютона, Хаббард обнаружил еще одну странную особенность. Независимо от числа аттракторов, расположенных на плоскости, каждая точка границы одновременно касается областей притяжения всех аттракторов.

В случае трех аттракторов каждая точка границы будет местом, в котором встречаются все три области!

Все это звучит неправдоподобно, но «планета» на рисунке, взятом из статьи Хайнца-Отто Пайтгена и Питера Рихтера «Границы хаоса», иллюстрирует такую возможность.

Темным, светлым и серым цветами окрашены определяемые алгоритмом Ньютона области влияния для корней некоторого полиномиального уравнения. Где бы ни встретились, чтобы образовать границу, две области (например, окрашенные в светлый и темный цвета), третья область (серая) вклинивается между ними. Чтобы эти клинья не сформировали двусторонние границы со своими соседями, они в свою очередь окружаются цепочками островов, образуя структуры, повторяющиеся вновь и вновь до бесконечно малых размеров. Маленькая луна показывает обратную сторону планеты.