Чтение онлайн

В эпистемологии приставка «мета-» означает «о себе». Например, метаданные — данные о данных (кто выдает их, когда, какой формат данных используется и т.п.). Аналогично, метапамять в психологии обозначает интуицию личности о том, сможет ли она вспомнить нечто, если сконцентрируется на воспоминании. Фрактал Мандельброта — это метафрактал, это фрактал-ландшафт для фракталов Жюлиа.

Сложные формы, производимые простыми алгоритмами, появились на экранах мониторов после того, как Бенуа Мандельброт запустил на одном из первых компьютеров IBM итерацию Жюлиа. Описанное Жюлиа еще в 1918 году отображение выглядит крайне просто:

Берем ноль, возводим его в квадрат и прибавляем к результату комплексную константу С. Полученный результат возводим в квадрат и добавляем ту же константу С. И так можно продолжать до бесконечности. Это отображение может быть применено к комплексным числам Z и С. Использование комплексных чисел усложняет расчеты, но вместе с тем позволяет увидеть весь ландшафт с «высоты птичьего полета». Когда такая возможность была реализована, появилась фрактальная геометрия.

Вычислительные машины стали детонатором фрактальных представлений. В 1977 году появилась техническая возможность рассчитать и визуализировать сложные, многократно повторяющиеся расчетные алгоритмы. Мандельброт тогда работал на фирме IBM и по роду службы имел дело с лучшими на то время компьютерами. На экране его монитора — вдруг, словно по мановению «невидимой руки», — появились узоры, замысловатые и странные.

В 1980 году Мандельброт обнаружил множество, которое мы называем теперь фракталом Мандельброта. Это не просто причудливая фигура. Это еще и принцип перехода от связного и упорядоченного — к разрывному и хаотическому состоянию форм. Множество Мандельброта содержит в себе универсальность Фейгенбаума, но не ограничивается ею.

С самого начала предпринятого им исследования Мандельброт искал пограничную линию между связными и разрывными множествами Жюлиа. Он анализировал комплексное итерационное уравнение Жюлиа:

Выбрав произвольное число Z0, возведем его в квадрат и прибавим константу С для того, чтобы по лучить Z1, и т. д.

Начнем с простейшего из возможных значений константы С, а именно

Тогда при каждой итерации вычисляется точный квадрат исходного числа:

Для этой последовательности в зависимости от ZQ имеются три возможности:

1. Числа получаются все меньшими и меньшими, их последовательность приближается к нолю. Мы говорим, что нуль является аттрактором для процесса Z -> Z2. Все точки, находящиеся на расстоянии меньше 1 от этого аттрактора, движутся к нему.

2. Числа становятся все большими и большими, стремясь к бесконечности. Мы говорим, что бесконечность является аттрактором для такого процесса. Все точки, лежащие на расстоянии больше 1 от ноля, движутся к бесконечности.

3. Точки находятся и продолжают оставаться на расстоянии 1 от ноля. Их последовательности лежат на границе двух областей притяжения, в данном случае на окружности единичного радиуса с центром в ноле.

Ситуация ясна. Плоскость делится на две зоны влияния, а границей между ними является просто окружность.

Дело обстоит сложнее, когда мы выберем ненулевое значение С, отличное от ноля. Например,

Здесь для последовательности Z0– > Z1– > Z2– > ... также имеются три из перечисленных выше возможностей, но внутренний аттрактор (отмеченный точкой на рисунке) уже не является нолем, а граница уже не выглядит гладкой. Она сильно изломана. Причем под лупой граница выглядит столь же изломанной, как и без нее. Она фрактальна.

Одной из характерных особенностей этой границы является ее самоподобие. Если взглянуть на любой из ее поворотов или заливов, можно обнаружить, что одна и та же форма встречается в различных местах и имеет разные размеры.

Если выбрать новое значение С, скажем,

то получим множество, которое представляет собой не единственную деформированную окружность, а состоит из бесконечного числа деформированных окружностей, образующих, однако, связное множество. Внутренние точки этого множества притягиваются не одной неподвижной точкой, а циклом из трех точек, отмеченных на рисунке более крупно. И эти границы также фрактальны.

Множества Жюлиа с одной притягивающей неподвижной точкой С = -0.12375 + 0.56508i и множество Жюлиа с притягивающим циклом периода 3С = -0.12 + 0.74i

Оба эти множества — представители семейства множеств Жюлиа. Во время Первой мировой войны французские математики Гастон Жюлиа и Пьер Фату изучили их свойства, но их исследования долгое время оставались малоизвестными даже для большинства математиков. Это не удивительно. Без компьютерной графики было почти невозможно передать их тонкие идеи. Например, Жюлиа и Фату было хорошо известно о самоподобии. Они установили, что всю границу можно восстановить по любой произвольно малой ее части, используя конечное число итераций отображения

Еще более трудно представить сложную динамику множеств Жюлиа, не прибегая к компьютерной графике. Не менее сложно предсказать, какой вид будет иметь множество Жюлиа при том или ином значении параметра С.

Исследование Мандельброта позволило преодолеть эти трудности. Ученый нашел и построил границу, внутри которой каждой точке соответствует то или иное связное множество Жюлиа. Любой точке за пределами этой границы соответствует такое множество Жюлиа, которое как бы рассыпается на бесконечное число оторванных друг от друга фрагментов.

Представим себе некоторый путь, начинающийся внутри множества Мандельброта и заканчивающийся вне его. Если менять С, двигаясь вдоль этого пути, то самые драматические изменения происходят с множествами Жюлиа тогда, когда наш путь пересекает границу множества Мандельброта. Здесь, на границе, множества Жюлиа, как будто взорвавшись, превращаются в облако из бесконечного числа точек. В этом смысле граница множества Мандельброта определяет момент математического фазового перехода для множеств Жюлиа.