Том 19. Ипотека и уравнения. Математика в экономике
Шрифт:
Иногда клиент хочет прибавить полученные проценты к вкладу, чтобы на них также начислялись проценты. В этом случае речь идет о так называемых сложных процентах. Рассмотрим предыдущий пример снова, несколько его изменив. В конце первого года клиент помещает на счет вклада итоговую сумму в 1060 денежных единиц. В конце второго года его капитал будет равен 1123,60, так как, помимо 120 денежных единиц, выплаченных в качестве процентов, также будут выплачены 6 % от 60 единиц, вложенных по итогам первого года, то есть дополнительно 3,6 денежной единицы. В конце третьего года итоговый капитал составит 1191,02, то есть рентабельность вложений за весь срок вклада составит 19,10 % — на 1,1 пункта больше, чем если бы использовались простые проценты.
Процентная ставка по кредиту, или доходность капитала, может быть месячной, квартальной или годовой. Следовательно, если номинальная годовая процентная ставка составляет 12 %, но на сумму кредита ежемесячно начисляется 1 %, и эта сумма добавляется к телу кредита, то итоговая сумма будет отличаться. Поэтому определяется эквивалентная годовая процентная ставка. Эквивалентная годовая процентная ставка по кредиту с годовой процентной ставкой i, проценты по которому начисляются n раз в год (например, ежемесячно), рассчитывается так:
* * *
ОБЩАЯ ФОРМУЛА СЛОЖНЫХ ПРОЦЕНТОВ
Общая формула для расчета сложных процентов за n лет, начисляемых по вкладу или по кредиту с начальной суммой С0, выводится так: в первый год (n = 1) начисляется сумма процентов, равная С0•i. Во второй год (n = 2) эта сумма процентов прибавляется к начальному капиталу: С1 = С0 + С0•i = С0•(1 + i), и так происходит до последнего года.
n = 0; С0,
n = 1; С1 = С0 + С0•i = С0•(1 + i),
n = 2; С2= С1 + С1•i = С0•(1 + i) + С0•(1 + i)•i = С0•(1 + i)•(1 + i) = С0•(1 + i)2,
n = 3; С3= С2 + С2•i = С0•(1 + i)2 + С0•(1 + i)2•i = С0•(1 + i)2•(1 + i) = С0•(1 + i)3
……
n = n; Сn = С0•(1 + i)n.
Таким образом, общая формула сложных процентов записывается так: Сn = С0•(1 + i)n. Из этой формулы, в свою очередь, можно определить значение процентной ставки i или число периодов n при известных остальных значениях переменной:
С другой стороны, если в формуле Сn = С0•(1 + i)n перейти к логарифмам, получим:
Эти формулы используются как для расчета будущей стоимости капитала, вложенного под определенные проценты, так и для расчета годовой суммы процентов, полученной на вложенный капитал, а также для определения числа лет или периодов времени, по прошествии которых мы получим заданную сумму.
* * *
Если i = 12 % годовых, но проценты начисляются ежемесячно (n = 12), эквивалентная процентная ставка будет равняться
где i = 12 % годовых, n = 12 месяцев.
Если бы проценты начислялись раз в квартал, то эквивалентная процентная ставка равнялась бы
где i = 12 % годовых, n = 4 квартала.
Реальная процентная ставка изменяется под влиянием инфляции. Так, если мы вложим средства в государственные облигации под 5 %, а инфляция составит 3 %, реальная процентная ставка, характеризующая реальный прирост покупательной способности денег, будет определяться как разность между номинальной процентной ставкой и уровнем инфляции.
Реальная процентная ставка = Номинальная процентная ставка — Уровень инфляции.
Формула сложных процентов очень проста в использовании. Покажем, как можно вычислить конечную стоимость денег при известных процентной ставке и периоде времени. Например, если мы вложим первоначальный капитал C0 = 10 000 евро на три года под 5 % годовых, каким будет конечный капитал С3?
C0 = 10000 евро; i = 5 % (0,05), n = 3 года.
Применив формулу С3 = С0•(1 + i)3 получим:
С3 = 10000•(1 + 0,05)3 = 10000•1,157625 = 11576,25 евро.
Однако расчет сложных процентов становится труднее, если другие члены этого уравнения неизвестны. Так, перед инвестором может встать вопрос: на какой срок нужно вложить капитал под определенный процент, чтобы вложенный капитал удвоился или чтобы получить определенную сумму?
Рассмотрим простой пример: допустим, мы хотим определить, за какой период времени вложенный капитал в 10000 евро удвоится, если процентная ставка находится на уровне i = 5 %. Зная начальный капитал С0 = 10000 евро, конечный капитал Сn = 20000 евро и процентную ставку i = 5 %, применим формулу
и получим следующий результат:
< image l:href="#"/>Логарифмы легко вычислить с помощью инженерного калькулятора, программы наподобие Excel или на интернет-сайтах (для этого введите в строку поиска log х).
* * *
СКОЛЬКО ПРОЦЕНТОВ Я ПЛАЧУ НА САМОМ ДЕЛЕ?
Этим вопросом может задаться, например, покупатель автомобиля, выплачивающий автокредит.
Продавец говорит, что цена автомобиля — 10000 евро, которые нужно выплатить за пять лет, таким образом, общая сумма к уплате, включая проценты, составит 15000 евро. Покупатель хочет узнать, какова процентная ставка по этому кредиту.
Зная число лет n = 5, начальный капитал С0 = 10000 евро и конечный капитал Сn = 15000 евро, процентную ставку i можно вычислить по формуле
Подставив в эту формулу исходные значения, получим процентную ставку
* * *
Процентные ставки по кредитам
Как правило, потребители или предприниматели, которые не располагают достаточными средствами для приобретения товаров длительного пользования, промышленного или торгового оборудования, обращаются в банк за кредитом. При покупке недвижимости кредит выдается под залог приобретенного имущества, такой кредит называется ипотечным. Это означает, что если заемщик не сможет выполнить обязательства по кредиту, приобретенная им недвижимость перейдет в собственность банка.