Том 9. Загадка Ферма. Трехвековой вызов математике
Шрифт:
Страсти постепенно улеглись. 29 июня 1638 года Декарт пишет Мерсенну: «Я вижу, что вы оказали любезность сообщить мне о письмах Ферма в мой адрес, прежде всего относящихся к тому, что он сказал, что его чрезвычайно огорчили слова моей первой статьи. Я смиренно прошу у него прощения за высказанные упреки».
Наконец, в октябре 1638 года Декарт впервые пишет самому Ферма в знак примирения: «Должен признаться, что я никогда не встречал никого, кто производил бы впечатление человека, столь сведущего в геометрии, как вы… Несмотря на это, подобно тому как наш взгляд более пристально задерживается на малейших изъянах бриллианта, чем на крупных огрехах простого камня, так и я посчитал нужным более пристально рассмотреть ваши слова по сравнению со словами любого другого человека, которого я ценил бы не столь высоко».
Но инцидент этим не исчерпался. Декарт видел в Ферма гения и соперника, поэтому побаивался его и старался подорвать его авторитет при любой возможности. Как-то раз, проанализировав работу Ферма об определении касательной к циклоиде (работа не содержала ошибок), Декарт написал Мерсенну, что в труд Ферма вкрались ошибки и Ферма не соответствует званию математика и мыслителя. Декарт занимал заметное положение в научном сообществе того времени, и это, несомненно, повлияло на то, что у многих ученых сложилось ошибочное представление о Ферма.
Но гений Ферма не переставал сверкать. Он первым заложил основы алгебраической геометрии, опередив Декарта с его «Геометрией». Вместе с Паскалем он создал теорию вероятностей. Достигнутые им результаты в алгебре и методы доказательства, которые он использовал, дали начало современной теории чисел. Его вклад в математику этим не ограничивается — мы привели лишь несколько примеров. Наконец, Ферма как математик несомненно превзошел Декарта. Ферма всячески старался сгладить трения и остроумно заметил, комментируя ошибку в «Геометрии», что так ценит гений Декарта, что, несмотря на все имеющиеся ошибки, эта работа достойнее других, в которых нет ни единой неточности.
Теория преломления света
История имела продолжение, когда речь зашла о теории преломления света. После смерти Декарта один из учеников предложил опубликовать все его письма. Он обратился за помощью к Ферма, попросив у того все письма, полученные от Декарта. Это побудило Ферма пересмотреть свою работу о преломлении света. Он остался недоволен своими же рассуждениями и решил заняться этой темой повторно. Именно тогда он сформулировал принцип, согласно которому свет распространяется по траектории, для которой время движения минимально. Этот принцип теперь известен как принцип Ферма. Он был включен в труд «Анализ и синтез преломления лучей», опубликованный примерно в 1660 году. С помощью этого принципа стало возможным дать математическое объяснение закону Снелла. И опять мы видим, с каким упорством Ферма подходил к решению задач. Он возвращался к ним снова и снова, всякий раз совершая новые открытия. Такого же упорства он ждал и от своих современников при решении задач, которые предлагал им.
* * *
ЗАКОН СНЕЛЛА
Если погрузить палочку в воду, то кажется, будто она сломана пополам и что угол наклона в воде и в воздухе отличается. Это оптическое явление, называемое преломлением, происходит из-за того, что скорость света меняется в зависимости от плотности среды, в которой он распространяется. Плотность воздуха меньше, чем воды, и скорость света в воздухе выше, чем в воде, так как в воздухе свет встречает меньше «препятствий» на своем пути.
Виллеброрд Снелл открыл формулу, известную как закон Снелла, которая связывает скорости света в двух средах и углы преломления:
sin 1/V1 = sin 2/V2
Принцип Ферма дает математическое объяснение этому явлению. Согласно этому принципу, свет распространяется по траектории, для которой время движения минимально. Допустим, что, как показано на рисунке, птица хочет попасть из точки А (конец палочки, расположенный над водой) в точку В (конец палочки, погруженный в воду).
Предположим, что птица летит в воздухе со скоростью v1 а под водой плывет со скоростью v2. Ферма доказал, что кратчайшим путем из точки А в точку В является не прямая, а линия, повторяющая изгиб палочки. Значит, птица должна следовать вдоль палочки, чтобы как можно скорее попасть в точку В.
Глава 4
Происхождение последней теоремы
Невозможно разложить куб на два куба, биквадрат на два биквадрата и вообще никакую степень, большую квадрата, на две степени с тем же показателем. Я нашел этому поистине чудесное доказательство, но поля книги слишком узки для него.
Пьер де Ферма
В один прекрасный день в руки Ферма попала копия «Арифметики» Диофанта. Во время чтения его мысли витали среди прекрасных математических пейзажей, и в голову ему приходили очередные запутанные задачи, которые он впоследствии предложит математическому сообществу. Среди этих задач была его знаменитая последняя теорема. Из всех его задач доказательство этой теоремы заняло больше всего времени. Ферма записал теорему на полях страницы с задачей 8 из книги II, о чем мы подробнее поговорим чуть позже.
Корни этой загадки Ферма уходят в александрийскую эпоху. С одной стороны находились «Начала» Евклида, датируемые II веком до н. э., с другой стороны — уже упомянутая «Арифметика» Диофанта, написанная пять или шесть веков спустя. На этих двух книгах основывались практически все математические исследования в Средиземноморье и на Востоке на протяжении примерно полутора тысяч лет.
«Начала» Евклида включают три книги по арифметике (книги VII, VIII и IX). В них впервые упоминается общая теория делимости. Речь идет о наибольших общих делителях и алгоритме их вычисления. Этот алгоритм известен как алгоритм Евклида. Также приводится определение простых чисел и показывается, что их бесконечно много. Помимо этого, говорится о взаимно простых числах и совершенных числах, то есть числах, равных сумме всех своих делителей.
Совершенные числа
История совершенных чисел заслуживает отдельной главы. Поиски совершенных чисел в некотором смысле можно сравнить с поисками знаков . Несколько из них были известны с самого начала, а остальные находились по мере развития математики. Не обходилось и без ошибок, но со временем их исправляли. Сегодня, в эпоху компьютеров, при всех знаниях, что нам известны, все совершенные числа до сих пор не найдены. Более того, неизвестно даже, является множество совершенных чисел конечным или бесконечным.
Обложка первого английского издания «Начал» Евклида, датируемого 1570 годом.
* * *
ПИФАГОРОВЫ ТРОЙКИ
В «Началах» Евклида приводится общая формула для нахождения пифагоровых троек, то есть натуральных чисел, которые являются решениями уравнения а2 + Ь2 = с2. Для этого выбираются произвольные натуральные числа m и n, причем m > n. Затем рассчитывается
а = m2 — n2; b = 2mn; с = m2 + n2.
Полученные числа а, Ь, с удовлетворяют соотношению
а2 + Ь2 = (m2 — n2)2 + (2mn)2 = m4 — 2m2n2 + n4 + 4m2n2 = m4 + 2m2n2 + n4 = (m2 + n2)2 = с2,
следовательно, они образуют пифагорову тройку. Если мы выберем m и n так, чтобы они были взаимно простыми и только одно из них было четным, то по этой же формуле можно получить все примитивные пифагоровы тройки, то есть те, в которых а, b и с являются взаимно простыми. Отсюда следует, что существует бесконечное количество примитивных пифагоровых троек.
Для каждой тройки можно построить прямоугольный треугольник, длины сторон которого будут выражены целыми числами. Ферма доказал, что площадь таких треугольников никогда не может быть равна квадрату числа.
* * *
Слово «совершенные» больше связано с эстетикой, чем с математикой. Эти числа красивы не из-за каллиграфического написания, не потому, что их сложно найти и не из-за витиеватости определения. Вместо этого они обладают одним очень простым свойством.
Возьмем в качестве примера число 6. Его делители, то есть числа, на которые оно делится без остатка, — это 1, 2, 3 и 6. Удивительно, но 1 + 2 + 3 = 6, то есть сумма всех делителей, меньших 6, дает в сумме 6. Следующее совершенное число — 28. Его делители равны 1, 2, 4, 7, 14 и 28. Нетрудно видеть, что 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28. Следующее совершенное число — 496. Его делители таковы: 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124, 248 и 496, и нетрудно показать, что 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248 = 496. Следующее совершенное число — 8128, так как 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 254 + 508 + 1016 + 2032 + 4064 = 8128. Эти четыре совершенных числа были известны еще в Античности. Евклид упоминает их в своей книге «Начала» и в теореме 36 книги IX приводит общую формулу для этих чисел.
Появление совершенных чисел
Примерно в 100 году философ Никомах Герасский, представитель неопифагореизма, написал «Введение в арифметику», где приводилась классификация всех чисел. Числа делились на избыточные (сумма делителей которых больше самого числа), недостаточные (сумма делителей которых меньше самого числа) и совершенные (сумма делителей которых равна самому числу). В этой книге объясняется формула Евклида для нахождения совершенных чисел, «которая охватывает все совершенные числа и не включает ни одного, которое таковым не является. Совершенные числа находятся так. Сначала нужно записать в ряд некоторое количество степеней двойки, начиная с единицы и заканчивая любым выбранным вами числом: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096. Для каждого нового члена нужно найти сумму этого ряда. Если результат не является составным числом, его нужно умножить на последнее число, добавленное в ряд. Результат умножения всегда будет совершенным числом. Если же сумма не является простым числом, нужно прибавить к ней следующий член ряда и посмотреть, является ли новая сумма составным числом. Если результат — составное число, нужно продолжать складывать члены ряда. Если же результат является простым числом, его нужно умножить на последний член ряда, результат будет совершенным числом, и так до бесконечности. Это легко проверить на конкретных примерах: