Том 9. Загадка Ферма. Трехвековой вызов математике
Шрифт:
Страница книги II «Арифметики» Диофанта издания 1670 года. На этой странице приведена задача 8 и комментарий Ферма.
По-видимому, это указывает на то, что ему действительно удалось доказать частные случаи для n = 3 и n = 4. Доказательство для n = 3 не сохранилось, но Ферма ссылается на него в некоторых письмах. Доказательство для n = 4 сохранилось, и его можно назвать поистине мудрым. В нем впервые представлен метод бесконечного спуска: доказывается, что если существуют три значения х, у, z натуральные и отличные от нуля, которые удовлетворяют уравнению х4 + у4 = z4, то можно найти три других, меньших натуральных числа, отличных от нуля, х', у', z', которые также будут удовлетворять этому уравнению. Продолжая подобные рассуждения, мы придем к тому, что всякий раз будем получать всё меньшие и меньшие решения, при этом они будут натуральными и отличными от нуля. Но это приводит к противоречию: натуральные числа не могут быть бесконечно малыми. Следовательно, таких решений не существует.
* * *
ЧАСТНЫЕ РЕШЕНИЯ ФЕРМА ДЛЯ СТЕПЕНИ 3
Хотя уравнение х3 + у3 = z3 не имеет целых решений, отличных от нуля, они «почти» есть, так как некоторые значения х, у, z «почти» удовлетворяют этому уравнению. Нетрудно видеть, что 53 + 63 = 73 — 2 всего на две единицы отличается от равенства, приведенного Ферма. Еще более удивительный случай: 63 + 83 = 93 — 1. Кажется невероятным, что мы подобрались так близко к решению, но тем не менее не существует целых чисел, которые бы удовлетворяли уравнению!
Что произойдет, если мы добавим новый член в уравнение Ферма? Удивительно, но в этом случае оно будет иметь целые решения, отличные от нуля! Так, 33 + 43 + 53 = 63, 73 + 143 + 173 = 203.
В одном из эпизодов сериала «Симпсоны» можно увидеть равенство 178212 + 184112 = 192212.
Неужели Лизе Симпсон удалось решить загадку Ферма? После более тщательного анализа становится понятно, что эти числа «почти» являются решением, так как равенство выполняется с точностью до девятого знака. В другом эпизоде приводится еще более точное решение. В серии «Волшебник с вечнозеленой террасы» упоминается равенство 398712 + 436512 = 447212 — еще одно «почти» решение, левая и правая части которого совпадают с точностью до десятого знака, и, кроме этого, цифры первых разрядов также совпадают. Обнаружить эту неточность с помощью обычного восьмиразрядного калькулятора невозможно.
* * *
Ферма полагал, что найденный им метод бесконечного спуска является общим методом, который можно использовать в доказательствах любых теорем теории чисел, подобно тому как Декарт считал, что все задачи в природе можно решить с помощью аналитической геометрии. Но реальность, как всегда, оказалась шире подобных представлений. Ее многообразие нельзя охватить каким-то одним методом, сколь мощным бы он ни был. Всегда будут находиться исключения, которые будут бросать вызов человеческому разуму, и человеку нужно будет постоянно превосходить самого себя, чтобы достигнуть новых и новых высот. Именно это произошло с последней теоремой Ферма.
С помощью метода бесконечного спуска Ферма нашел доказательство для n = 3, но, возможно, он понял, что доказать теорему аналогичным способом для высших степеней не удастся. Но даже несмотря на это, вклад Ферма остается поразительным — доказав теорему для n = 4, он создал новый математический метод, оказавшийся удивительно многогранным.
Кроме этого, он доказал свою теорему для половины всех возможных показателей, что уже немало. Тем не менее, вопрос о доказательстве теоремы для всех остальных случаев оставался открытым. С тех пор на него пытались ответить самые выдающиеся математики, но безуспешно.
Труды Ферма были опубликованы после его смерти. На рисунке — титульный лист одной из книг Ферма, изданной в XIX веке.
Мы неоднократно упоминали, что Ферма не хотел публиковать свои работы. Но это не совсем так. Уже в 1636 году он отправил Мерсенну изложение своего метода нахождения максимумов и минимумов и попросил показать эту работу парижским математикам. Кроме этого, в своей переписке, которую он вел на протяжении всей жизни, Ферма не просто предлагал новые задачи, но и указывал пути их решения, а в некоторых случаях подробно объяснял свои методы.
В 1654 году Ферма возобновил переписку с парижскими математиками. Блез Паскаль обратился к нему с просьбой прокомментировать его идеи о вероятностях, и Ферма гениальным образом увидел связь между вероятностями и комбинаторикой. В своих письмах Паскаль заложил основы новой математической дисциплины — теории вероятностей, и Ферма воспользовался моментом, чтобы представить некоторые из своих последних результатов.
С одной стороны, Ферма предлагал новые задачи теории чисел Блезу Паскалю, Жилю Робервалю, Джону Валлису, Уильяму Броункеру, Бернару Френиклю де Бесси и многим другим. Среди этих задач были следующие: найти все целые решения уравнения Nx2 + 1 = у2, где N не является квадратом; доказать, что уравнение х2 + 2 = у3 имеет только одно решение на множестве натуральных чисел; доказать, что
Уильям Броункер был одним из многих математиков, с кем переписывался Ферма.
С другой стороны, Ферма попросил Паскаля и де Каркави, чтобы они помогли ему найти издателя для его книги «Использование корней второй и высших степеней в анализе». С этой целью 9 августа 1654 года он пишет де Каркави: «Если это не оскорбит вас, не могли бы вы (здесь имеются в виду де Каркави и Паскаль. — Примеч. автора) сделать возможной печать (имеется в виду печать его книги. — Примеч. автора), для чего я не возражаю, чтобы вы вносили любые изменения, прояснив некоторые понятия, которые, по вашему мнению, изложены слишком кратко, избавив меня таким образом от этой тягостной задачи, завершить которую мне мешают другие дела. Мне бы хотелось, чтобы в работе не упоминалось мое имя, и я даю вам право приписать авторство этого труда тому, кого вы считаете вашим другом». Де Каркави, в свою очередь, обратился к Гюйгенсу. Но никому из них так и не удалось опубликовать эту книгу Ферма. Шло время, и работам Ферма стало угрожать забвение.
* * *
СЛУЧАЙ ДЛЯ 4К + 1
Примером неполных объяснений, которые встречаются в Relation des nouvelles d'ecouvertes en la science des nombres, являются способы доказать, что любое простое число вида 4k + 1 можно представить как сумму двух квадратов. Нужно начать с предположения, что существует простое число вида 4k + 1, которое нельзя представить в виде суммы двух квадратов. Тогда можно убедиться, что существует простое число, меньшее данного, которое также нельзя представить в виде суммы двух квадратов. Это ведет к противоречию, так как путем подобных рассуждений мы придем к числу 5 — наименьшему из простых чисел подобного вида, но его можно представить как сумму двух квадратов: 5 = 22 + 12. Следовательно, исходное утверждение доказано. Но Ферма не объясняет, как совершить переход от большего простого числа к меньшему. Лишь через несколько десятилетий Эйлер восстановил действия, пропущенные в доказательстве Ферма. Это еще один пример того, как Ферма нашел доказательство, но не потрудился записать его.
* * *
Он понимал это и решил исправить ситуацию наилучшим известным ему способом: продолжал писать письма. Он не хотел публиковать книги под своим именем. Ему было важно лишь то, чтобы они увидели свет и тем самым способствовали развитию науки. В 1659 году он просит де Каркави, чтобы тот отправил Гюйгенсу его труд «Рассказ о новых открытиях в науке о числах» (Relation des nouvelles d"ucouvertes en la science des nombres). В нем Ферма подробнее, чем обычно, объяснял многие свои методы, но все же не столь подробно, как этого хотелось бы его коллегам.
Ферма умер, так и не найдя издателя, который бы опубликовал его работы. Хотя некоторые из них стали частично известны из его писем, а также публикаций его современников, можно утверждать, что большинство его трудов было бы утеряно навсегда, если бы не сын Ферма, Самуэль, который разделял увлечение отца математикой. В 1670 году Самуэль Ферма опубликовал «Арифметику» Диофанта в переводе Баше с комментариями отца.
Методы, предложенные Ферма, не переставали удивлять его современников. Он внес вклад в создание бесчисленного множества новых теорий, которые зародились именно в ту плодотворную эпоху. Для нахождения максимума и минимума он использовал выражение, подобное производной, и приравнивал его к нулю. Он применил алгебраические методы для решения геометрических задач до Декарта, что позволяет считать его отцом аналитической геометрии. Он занимался решением задач из теории вероятностей и комбинаторики, что дает возможность назвать его, наряду с Паскалем, создателем этих разделов математики. Кроме того, Ферма считается основателем современной теории чисел, в которую он внес огромный вклад и где его ум сверкал по-настоящему. Он также занимался оптикой и механикой. Подобно царю Мидасу, который превращал в золото все, к чему прикасался, Ферма добивался заметных результатов во всех темах, над которыми работал. И всего этого он достиг, работая адвокатом! Если бы он сформулировал уравнение справедливости, то смог бы найти и его решение.
Глава 5
Ингредиенты вкусного блюда
Нет задачи, которая устояла бы под натиском разума.
Вольтер
В 1666 году, спустя несколько лет после смерти ее вдохновителя, Мерсенна, была основана Парижская академия наук. Жан Батист Кольбер, тогдашний министр финансов Франции, выделил значительные средства для этого престижного ныне учреждения. Постепенно в академию стали приглашать ведущих ученых со всего мира, и среди них были многие из тех, с кем переписывался Мерсенн. По сути, именно эта группа ученых дала толчок сему амбициозному проекту и воплотила его в жизнь.