Том 9. Загадка Ферма. Трехвековой вызов математике
Шрифт:
Французский математик Жан-Пьер Серр на церемонии вручения Абелевской премии 3 июня 2003 года
(фотография предоставлена Институтом Абеля)
Серр, который в 1955 году участвовал в семинаре, проводимом Таниямой и Симурой, заинтересовался гипотезой Фрая и написал письмо своему коллеге и соотечественнику Жан-Франсуа Местру. Позднее он оформил это письмо в виде статьи. В этой статье он использовал формулировки, несколько отличающиеся от тех, которыми пользовался Фрай (заполнив пробелы с помощью так называемых модулярных представлений Галуа), и предположение Фрая официально стало считаться гипотезой. Если эта гипотеза, получившая название эпсилон-гипотезы, была верна, то между гипотезой Таниямы — Симуры и великой теоремой Ферма устанавливалась следующая взаимосвязь: если первая была верной, то вторая — ложной, и наоборот.
* * *
РУКА, КАЧАЮЩАЯ КОЛЫБЕЛЬ
Американец Барри Мазур (р. 1937) — одна из наиболее выдающихся фигур в теории чисел последних лет. Во многом благодаря его статье «Модулярные кривые и идеал Эйзенштейна» на модулярность снова обратили внимание молодые математики, в частности, Фрай, Рибет и Уайлс. Мазур называл теорию чисел разделом математики, где «без всяких усилий появляется бесчисленное множество задач. Они, как цветы, приятно пахнут, но их шипы больно колют любого, кто пытается прикоснуться к ним».
ГЕРХАРД ФРАЙ, МАТЕМАТИК И КРИПТОАНАЛИТИК
Фрай родился в 1944 году в немецком округе Тюбинген. Он поступил в местный университет, где занимался физикой и математикой. Его специализацией была теория чисел. Среди его наиболее важных достижений, помимо эпсилон-гипотезы, — метод, известный как спуск Вейля, используемый для решения эллиптических кривых на конечных полях. Открытие этого метода положило конец одному из перспективных направлений криптографии.
* * *
От гипотезы к теореме
Привлекательность эпсилон-гипотезы была такова, что попытки доказать ее предпринимали все специалисты по теории чисел. Среди них был блестящий молодой математик из США Кеннет Рибет, еще в 1985 году получивший должность профессора в Калифорнийском университете в Беркли. Рибет учился у Мазура в Гарварде, где защитил докторскую диссертацию. Он, как и его учитель, был очарован тем, что между теорией чисел и алгебраической геометрией существует удивительная связь, которую в свое время открыл Куммер, и что эта связь может повлиять на способ доказательства теоремы Ферма. Рибет занялся доказательством эпсилон-гипотезы и наконец увидел свет в конце туннеля. Предоставим ему слово:
«Я был абсолютно поражен. Я вернулся домой, спотыкаясь, будто витая в облаках. Я сел и снова проверил все доказательство и увидел, что оно было верно, действительно верно. Я посетил конференцию (Международный конгресс математиков, который проводился в университете Беркли, Сан-Франциско, в 1986 году. — Примеч. автора), рассказал об этом немногим, и вскоре об этом узнали почти все. Ко мне подходили и спрашивали: „Вы правда доказали эпсилон-гипотезу?“ Я помедлил около минуты и вдруг сказал: „Да. Я доказал ее“».
Это простое, искреннее признание помогает понять, что может происходить в голове у математика, когда он находит посреди океана неведения крупицу истины, подлинной истины, ведь математик как никто другой стремится к истине в самом точном и абсолютном смысле этого слова. Сам Рибет позднее вспоминал, что когда был докторантом, то говорил о великой теореме Ферма, перефразируя Гаусса: «Это одна из тех задач, о которых нельзя сказать ничего полезного». В то время Рибет не подозревал, какую роль в ее доказательстве сыграет его работа всего через несколько лет. Эпсилон-гипотеза ушла в прошлое — на смену ей пришла теорема Рибета. Теперь к доказательству последней теоремы Ферма могли приступить математики последнего поколения.
Все стало окончательно ясно: тот, кто докажет гипотезу Таниямы — Симуры, докажет последнюю теорему Ферма. Легко сказать, но трудно, очень и очень трудно сделать. В конце концов, с момента симпозиума, на котором Танияма представил первоначальный вариант гипотезы, прошло почти 40 лет, и до сих пор никто ни на шаг не смог приблизиться к ее доказательству. Подавляющее большинство специалистов по теории чисел считали, что эта гипотеза будет доказана лишь спустя много десятилетий. Вспомним слова Мазура: «Удивительная гипотеза… но в тот момент ее проигнорировали, так как она слишком опередила свое время». Значительные трудности представлял тот факт, что и модульных форм, и эллиптических кривых (связь между этими математическими объектами устанавливала гипотеза) бесконечно много. Тот, кто рискнул бы взяться за громадный труд по доказательству гипотезы Таниямы — Симуры, должен был бы решить не только основную задачу, но и множество более мелких, но столь же трудных. Малейшая ошибка могла свести на нет результаты многолетнего труда. Если сравнить теорему Ферма с математическим Эверестом, то можно сказать, что Танияма, Симура, Мазур, Фрай, Серр и Рибет нашли новый путь к вершине, ранее незаметный, но на этом пути беспрестанно бушевал сильнейший ветер.
Глава 6
Доказательство
хn + уn = zn не имеет решений.
Я нашел этому поистине чудесное доказательство, но у меня нет времени записать его — скоро приедет поезд.
Граффити на одной из станций нью-йоркского метро, 1988 год
Был летний вечер 1986 года. Эндрю Уайлс пил чай со льдом в гостях у друга. В разговоре собеседник обронил, что Рибет доказал эпсилон-гипотезу. Это вызвало в обычно сдержанном Уайлсе настоящую бурю эмоций. «В тот момент я понял, что моя жизнь изменилась. Если это было действительно так, то для доказательства теоремы Ферма нужно было всего лишь доказать гипотезу Таниямы — Симуры. В этот же самый миг я понял, над чем мне нужно работать», — вспоминал он позже.
Уайлс оставил все остальные проекты и всецело посвятил себя решению этой задачи, практически полностью отгородившись от всего мира на семь лет. Как признавался он сам много лет спустя, у него было важное преимущество: никто не имел ни малейшего представления, как подступиться к задаче. Однако у этого преимущества была и обратная сторона: «Очень скоро я понял, что не могу распространяться о своей работе в разговорах с коллегами, даже мимоходом упоминать о ней — это привлекло бы повышенный интерес. Кроме этого, невозможно сосредоточиться на одной теме в течение многих лет, находясь под таким давлением». Но Уайлс подозревал, что на пути к славе ему будет мешать не только недостаток времени, но и повышенный интерес специалистов со всего мира.
Об Эндрю Уайлсе известен забавный случай: он узнал о великой теореме Ферма в 10 лет из научно-популярной книги по математике. Образ затерянного доказательства напомнил мальчику о темных пещерах и таинственных кладах, зарытых в далеких южных странах. Уайлс решил доказать теорему, используя знания из школьного курса арифметики. Эта история как никакая другая доказывает, насколько притягательной делает теорему Ферма простота ее формулировки, понятной даже ребенку. Юному Уайлсу, разумеется, пришлось оставить попытки найти доказательство, но теореме Ферма было суждено сопровождать его всю жизнь.
* * *
ОПАСНОСТЬ ЭКСТРАПОЛЯЦИИ
Как уже говорилось в предыдущей главе, к 90-м годам XX века теорема была доказана для всех показателей степени вплоть до 4 000 000. Если теорема Ферма верна для таких больших степеней, почему математики так стремились доказать ее для всех возможных показателей? Ведь практически невозможно, чтобы внезапно, словно с неба, появился непостижимо большой показатель степени, для которого теорема Ферма будет ложной. Не слишком ли щепетильным было математическое сообщество? Оставив в стороне вопросы психологии, скажем, что в случае с гипотезой, согласно которой бесконечное множество чисел обладает определенным свойством, никакая выборка «экспериментальных» данных, сколь велика бы она ни была, не может являться доказательством. Математика строится на доказательствах, то есть на непогрешимых истинах, и благодаря этому является столь мощным инструментом науки. И кроме того, история математики знает примеры, когда, вопреки изначальным предположениям, гипотезы оказывались ложными.
Например, Эйлер предположил, что следующее уравнение не имеет решений:
x4 + у4 + z4 = w4.
Компьютеры буквально дымились от непрерывных вычислений, но в течение многих десятилетий опровергнуть гипотезу Эйлера не удавалось. Был велик соблазн предположить, что гипотеза Эйлера верна для всех случаев, но в 1988 году Ноам Элкис потряс все научное сообщество, найдя контрпример:
2 682 4404 + 15 365 6394 + 187 9604 = 20 615 6734.
Более того, Элкис не остановился на этом: он не просто нашел решение, но и доказал, что их бесконечно много. Конечно, он пользовался компьютером, но сам по себе компьютер не способен найти решение.
* * *
Эндрю Джон Уайлс родился в 1953 году в Кембридже, но изучал математику в Оксфордском университете, где его отец, Морис Фрэнк Уайлс, преподавал богословие. Однако докторскую диссертацию Уайлс защитил уже в Кембридже под руководством австралийца Джона Коутса. Докторская диссертация Уайлса была посвящена арифметике эллиптических кривых с комплексным умножением методами так называемой теории Ивасавы. В начале 1980-х Уайлс получил должность профессора в Принстонском университете в США и стал одним из редакторов престижного журнала «Анналы математики». Казалось, что Уайлс забыл о давнем увлечении теоремой Ферма. Но позднее он признался: «Я не забыл о ней. Я помнил о ней всегда, но понимал, что единственные возможные методы доказательства насчитывали свыше ста лет, и было непохоже, чтобы с их помощью можно было проникнуть в суть задачи. Коутс, мой учитель, познакомил меня с теорией Ивасавы, над которой работал он сам». То, что эта теория в итоге стала ключом к доказательству последней теоремы Ферма, — одно из многочисленных удивительных совпадений, которыми изобилует эта история. Как бы то ни было, в 1986 году Рибет доказал эпсилон-гипотезу, и Уайлс немедленно вернулся к давно интересовавшей его теореме.