Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2.
Шрифт:
1
c
j
m
x
D
.
И, наконец, последнее замечание, также относящееся к выражению (С). В той части силы, которая определяет воздействие поля на токи (строго говоря, конечно, на носители токов), Максвелл оперирует не с током проводимости, а с истинным током, дополнительно содержащим ещё и ток смещения. Это отличает соотношение (С) от используемого нами теперь. Разница обусловлена несколько иным определением понятия силы (во-первых) и отсутствием ещё одного члена, двойственного члену с электрическим током смещения (во-вторых). Поскольку вопрос представляет не только исторический интерес, остановимся на нём подробнее. Без ущемления сути дела в целях сокращения формул положим сразу =1, =1, т.е. будем рассматривать силы, действующие на заряды и токи в вакууме.
Закон сохранения импульса в этом случае принимает вид
div T
–
g
t
=
f
мех
,
(11)
где
f
мех
=
e
E
+
1
c
j
e
пр
x
H
,
g
=
1
4c
E
x
H
,
T
– >
T
=
1
4
(E
E
+H
H
)
–
1
8
(E^2+H^2)
.
Здесь g - плотность электромагнитного импульса, T– тензор напряжения, дающий поток импульса (втекающий, а не вытекающий, внутрь объёма, где находятся источники - отсюда и различие в знаках по сравнению с обычной записью законов сохранения). Соотношение (11) может быть переписано в несколько ином виде, если ввести понятие «обобщённой» силы, включающей в себя наряду с обычной механической (по нашей терминологии - лоренцовой) силой ещё и изменение электромагнитного импульса
div T
=
f
=
f
мех
+
g
t
=
=
e
E
1
c
j
e
пр
x
H
+
1
c
j
e
см
x
H
+
1
4c
E
x
H
t
.
(12)
Сравнивая выражение для f в (12) с максвелловской формулой (С) (где для однозначности подхода нужно сразу же положить m), нетрудно обнаружить, что они отличаются только наличием дополнительного члена в (12)
1
4c
E
x
H
t
=-
1
c
j
m
см
x
E
,
(13)
которому может быть придан вид, сходный с лоренцовым, если ввести условно «магнитный ток смещения»:
j
m
см
=
1
4
H
t
.
Следовательно, формулы (11) или (12) допускают такую дуально симметричную запись:
div T
=
f
=
e
E
+
m
H
+
1
c
j
m
пол
x
H
–
1
c
j
e
пол
x
E
.
Причина отсутствия у Максвелла добавочного члена (13) отчасти раскрывается в п. 641-643, где он выводит выражение для механической силы, дифференцируя тензор напряжений (его магнитную часть), и проводит соответствующие обобщения на переменные во времени процессы. Воспроизведём это вычисление в наших обозначениях. Если в магнитостатике задан тензор
T
m
=
1
4
H
H
–
1
4
H^2
,
то его дивергенция равна
T
m
x
=
1
4
x
H
H
–
1
8
x
H^2
=
1
4
H
H
x
+
1
4
H
H
x
–
1
8
H^2
=
=
1
4
(H)
H
+
1
4
H
div H
–
1
8
H^2
.
(14)
Здесь по дважды встречающимся индексам проводится суммирование
,
3
=1
.
Приняв во внимание тождество
H^2
=
2(H)H
+
2H
x
rot H
,
можно соотношению (14) придать окончательный (для случая магнитостатики) вид:
div T
m
=-
1
4
H
x
rot H
+
1
4
H div H
=
1
c
j
e
пр
x
H
.
(15)
Именно эта формула и приводится Максвеллом в п. 642-644. Обобщение состоит в замене jeпр– >jeпр+jeсм. Таким образом, уравнение (22) п. 644 подтверждает итоговое уравнение (С).
Однако в переменных полях соотношение (15) следует сложить с двойственным ему соотношением для электрической части тензора напряжений
div T
e
=
1
4
E div E
–
1
4
Ex rot E
=
e
E
+
1
4c
Ex
H
t
(16)
и в результате взамен максвелловской формулы (С) получить выражение (12).
Конечно, с помощью современного оперативного формализма, следуя Хевисайду, восстановление дуальной симметрии в выражении для силы (15) и (16) выглядит почти как очевидное. Но следует напомнить, что в «Трактате» вопрос о симметрии не обсуждался в столь общей постановке и, более того, его выяснение было отчасти затруднено отсутствием выписанного в явном виде уравнения (2). Вполне возможно, что это было причиной ненаписания последнего члена в (12) и (16).