Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2.
Шрифт:
0
=
1
n
(l)
,
0
=
1
n
.
(9)
Определим значения X и Y на этой воображаемой центральной станции так:
X
0
=
1
n
(X)
,
Y
0
cos l
0
=
1
n
(Y cos l)
.
(10)
Тогда
X
=
X
0
+
B
1
(l-l
0
)
+
B
2
(-
0
)
,
(11)
Y
cos l
=
X
0
cos l
0
+
B
2
(l-l
0
)
+
B
3
(-
0
)
.
(12)
Мы имеем n уравнений вида (11) и n уравнений вида (12). Обозначим вероятную ошибку в определении X через , а в определении Y cos l - через ; тогда мы можем вычислить и , исходя из предположения, что они обусловлены ошибками наблюдений H и .
Пусть вероятная ошибка наблюдений H равна h, а ошибка наблюдений равна , тогда в силу
dX
=
cos ·dH
–
H sin ·d
будем иметь
^2
=
h^2cos^2
+
^2H^2sin^2
.
Аналогично
^2
=
h^2sin^2
+
^2H^2cos^2
.
Если отклонения X и Y от значений, даваемых уравнениями вида (11) и (12), значительно превышают вероятные ошибки наблюдений, можно сделать вывод о том, что они обусловлены какими-то местными притяжениями; при этом у нас нет никаких причин полагать отношение и равным какой-либо величине, отличной от единицы.
Согласно методу наименьших квадратов, умножим уравнения вида (11) на , а уравнения вида (12) - на , тем самым сделав их вероятные ошибки одинаковыми. Затем умножим каждое из уравнений на коэффициент перед одной из неизвестных величин B1, B2, или B3; сложив результаты, получим три уравнения для отыскания величин B1, B2, B3:
P
1
=
B
1
b
1
+
B
2
b
2
,
^2P
2
+
^2
Q
1
=
B
1
^2b
2
+
B
2
(^2b
1
+^2b
3
)
+
B
3
^2b
2
,
Q
2
=
B
2
b
2
+
B
3
b
3
;
Здесь для краткости обозначено
b
1
=
(l^2)
–
nl
0
^2
,
b
2
=
(l)
–
nl
0
0
,
b
3
=
(^2)
–
n
0
^2
,
P
1
=
(lX)
–
nl
0
X
0
,
Q
1
(lYcos l)
–
nl
0
Y
0
cos l
0
,
P
2
=
(X)
–
n
0
X
0
,
Q
2
(Ycos l)
–
n
0
Y
0
cos l
0
.
Вычисляя B1, B2, и B3 и подставляя их в уравнения (11) и (12), мы можем найти значения X и Y в любой точке обзорной карты в пределах, свободных от местных возмущений, обнаруживаемых там, где вблизи станций имеются магнитные породы, каковыми является большинство скал вулканического происхождения.
Обзорные карты подобного рода могут быть составлены лишь для тех стран, где имеется много станций, куда удаётся доставить и где можно установить магнитные инструменты. Для других частей Земли приходится довольствоваться отысканием распределения магнитных элементов путём их интерполяции между значениями, известными лишь в местах расположения небольшого числа станций, разнесённых друг от друга на большие расстояния.
467. Предположим теперь, что с помощью описанной выше процедуры или с помощью эквивалентного ей графического метода построения карт, содержащих линии равных значений магнитных элементов, мы узнали величины X и Y, а следовательно, и потенциал V для всей поверхности земного шара. Следующий шаг должен состоять в разложении V в ряд по сферическим поверхностным гармоникам.
Если бы Земля всюду внутри была однородно намагничена в одном и том же направлении, то потенциал V был бы гармоникой первого порядка, магнитные меридианы совпадали бы с большими окружностями, проходящими через оба диаметрально противоположных магнитных полюса, а магнитный экватор был бы большой окружностью с одинаковой во всех её точках горизонтальной силой. Обозначив через H0 это постоянное значение силы, для любой другой точки с магнитной широтой l' мы бы имели H=H0cos l'. Вертикальная сила в произвольной точке равнялась бы Z=2H0sin l' причём tg =2tg l', где - наклонение.