Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2.
Шрифт:
=
r
(B-C)
dr
,
(24)
тогда в силу (17) и (20)
A+B+2C
=
r
d^2
dr^2
(Q+)
–
d
dr
(Q+)
,
(25)
и уравнения (11) становятся такими:
R
=-
d
dr
cos
+
r
d^2
dsds'
(Q+)
,
S
=-
dQ
ds'
,
S'
=-
dQ
ds
.
(26)
При таких значениях составляющих сил уравнение (13) будет иметь вид
d^2X
dsds'
=
– cos
d
dr
r
+
d^2
dsds'
(Q+)
– l
dQ
ds'
+l'
dQ
ds
,
=
cos
d
dx
+
d^2{(Q+)}
dsds'
+l
d
ds'
– l'
d
ds
.
(27)
519. Пусть
F
=
s
0
l
ds
,
G
=
s
0
m
ds
,
H
=
s
0
n
ds
,
(28)
F'
=
s'
0
l'
ds'
,
G'
=
s'
0
m'
ds'
,
H'
=
s'
0
n'
ds'
.
(29)
Эти величины имеют определённые значения для любой заданной точки пространства. Для замкнутых контуров они соответствуют составляющим вектор-потенциалов контуров.
Пусть L будет новой функцией r, такой, что
L
=
r
0
r(Q+)
dr
,
(30)
и пусть M будет двойным интегралом
s'
0
s
0
cos
ds
ds'
,
(31)
который для замкнутых контуров становится их взаимным потенциалом; тогда уравнение (27) может быть записано в виде
d^2X
dsds'
=
d^2
dsds'
dM
dx
–
dL
dx
+F
– F'
.
(32)
520. Интегрируя по s и s' между заданными пределами, находим
X
=
dM
dx
–
d
dx
(
L
PP'
–
L
AP'
–
L
A'P
+
L
AA'
),
+
F
P'
–
F
A'
–
F'
P
+
F'
A
,
(33)
где индексы у L характеризуют расстояние r, функцией которого является L, а индексы у F и F', характеризуют точки, в которых следует брать значения этих функций.
Исходя из этого, могут быть написаны выражения для Y и Z. Умножая эти три составляющие соответственно на dx, dy и dz, получаем
Xdx
+
Ydy
+
Zdz
=
DM
–
D(
L
PP'
–
L
AP'
–
L
A'P
+
L
AA'
)
–
(
F'dx
+
G'dy
+
H'dz
)
(P-A)
+
(
Fdx
+
Gdy
+
Hdz
)
(P'-A')
,
(34)
где D обозначает полный дифференциал.
Так как выражение Fdx+Gdy+Hdz не является, вообще говоря, полным дифференциалом какой-либо функции от x, y, z, то и выражение Xdx+Ydy+Zdz не является полным дифференциалом токов в том случае, когда один из них разомкнут.
521. Если, однако, оба тока замкнутые, то члены в L, F, G, H, F', G', H', исчезают и
Xdx+Ydy+Zdz
=
DM
,
(35)
где M есть взаимный потенциал двух замкнутых контуров, несущих единичные токи. Величина M выражает работу, производимую электромагнитными силами над любым из проводящих контуров при его перемещении параллельно самому себе с бесконечного расстояния до места его фактического расположения. Любому изменению его положения, увеличивающему M, будет оказано содействие со стороны электромагнитных сил.
Можно показать, как в п. 490, 596, что и когда движение контура не параллельно самому себе, то силы, действующие на него, всё равно определяются через вариацию M потенциала одного контура на другом.
522. Единственным экспериментальным фактом, использованным нами в этом исследовании, является факт, установленный Ампером и состоящий в том, что действие замкнутого контура на произвольный участок другого контура перпендикулярно направлению последнего. Все остальные этапы исследований связаны с чисто математическими соображениями, зависящими от свойств линии в пространстве. Эти рассуждения поэтому могут быть представлены в более сжатой и подходящей форме путём использования идей и языка математического метода, специально приспособленного для выражения таких геометрических соотношений, а именно метода кватернионов Гамильтона.
Это было сделано проф. Тэтом в Quarterly Journal of Mathematics, 1866, и в его трактате по Кватернионам в § 399 применительно к оригинальным исследованиям Ампера. Читатель, изучающий предмет, сможет легко распространить этот метод на несколько более общее исследование, приведённое здесь.
523. До сих пор мы не делали никаких предположений относительно величин A, B, C, кроме того, что они являются функциями расстояния между элементами r. Теперь мы должны установить вид этих функций; воспользуемся для этой цели четвёртым случаем равновесия Ампера, п. 508, в котором показывается, что если линейные размеры и расстояния в системе двух контуров изменить в одинаковой пропорции, сохранив токи неизменными, то сила между двумя контурами останется прежней.