Чтение онлайн

2. Если А и В — различные точки прямой, то существует по крайней мере одна точка С, лежащая между А и В.

3. Если прямая пересекает одну сторону треугольника (то есть содержит точку, расположенную между двумя вершинами), то она либо проходит через вершину противоположного угла, либо пересекает еще одну сторону треугольника.

Используя аксиомы порядка, можно определить очень важные для дальнейшего понятия. А именно: понятия: «отрезок» «полупрямая» (луч), «угол».

III. Аксиомы движения.

Движение у математиков — понятие основное (первичное). Свойства этого математического движения и определяются аксиомами.

1. При заданном преобразовании движения, обозначим его Д, любая точка А преобразуемой плоскости переходит в одну определенную точку А'.

2. При заданном преобразовании движения Д — в любую точку А' нашей плоскости переходит некоторая ее точка А.

3. При заданном преобразовании движения Д — различные точки А и В переходят в различные точки А' и В'.

Эти три аксиомы и показывают, что движение — взаимно однозначное преобразование плоскости в самое себя.

4. Последовательное выполнение двух любых преобразований движения Д1 и Д2 также есть преобразование движения. Мы будем обозначать его Д2 · Д1.

5. Всякое движение Д имеет обратное себе движение Д–1, такое, что произведение Д–1 · Д есть движение, оставляющее все точки плоскости на месте, то есть так называемое тождественное преобразование.

Ввиду аксиомы 4 очевидно, что тождественное преобразование (покой) следует рассматривать как частный случай преобразования движения.

Далее идут аксиомы, показывающие, что при движении не происходит «деформации» плоскости.

6. Если движение преобразует концы отрезка АВ в концы отрезка А'В' то всякая внутренняя точка отрезка АВ переходит при этом во внутреннюю точку отрезка А'В'.

Теперь следует важнейшая аксиома. Без нее невозможно установить понятие равенства фигур.

7. Если А, В и С — три точки некоторой фигуры, не лежащие на одной прямой, то эту фигуру можно переместить так, что:

а) точка А совместится с любой, заранее заданной точкой А' плоскости;

б) луч АВ совместится с любым, заранее заданным лучом А'В', исходящим из точки А';

в) точка С совместится с некоторой точкой С' в любой, заранее указанной полуплоскости, опирающейся на луч А'В' (таких полуплоскостей, естественно, две). После этого дальнейшее движение фигуры невозможно.

И наконец, аксиома, показывающая, что зеркальные отражения — частный случай преобразования движения.

8. Существуют движения, переводящие отрезок АВ в ВА, а угол АОВ в угол ВОА.

Эти восемь аксиом определяют все свойства движения, и теперь можно строго ввести понятие равенства, или — учено — конгруентности фигур.

«Фигура S называется равной фигуре S', если ее можно совместить с фигурой S' при помощи движения».

Теперь легко можно доказать такие теоремы:

1. Фигура S равна самой себе.

2. Если S равна S', то и S' равна S.

3. Если S равна S', a S' равна S'', то S равна S''.

Аксиомы планиметрии почти исчерпаны.

Остались:

IV. Аксиома непрерывности (аксиома Дедекинда).

Если все точки прямой разбить на два класса — I и II так, что любая точка класса II лежит правее любой точки класса I, то либо в классе I есть самая правая точка, и тогда в классе II нет самой левой, либо, наоборот, в классе II есть самая левая точка, и тогда в классе I нет самой правой.

Грубо говоря, эта аксиома означает, что в прямой нет разрывов — «пустых мест».

Ее необходимо ввести, чтобы было возможно построить строгую теорию измерения отрезков.

И наконец:

V. Аксиома параллельности.

Ко всякой прямой А через всякую точку, не лежащую на этой прямой, можно провести одну, и только одну, прямую, не пересекающую прямую А.

Забегая вперед, можно сообщить, что аксиоматика геометрии Лобачевского отличается от евклидовой лишь последней аксиомой. Все остальные аксиомы обеих геометрий совпадают.

Начнем с краткого списка имен. Проблему параллельных пробовали разрешить Аристотель, Посидоний, Птолемей, Прокл, Симплиций, Аганис — в античном мире; ал-Хазин, ат-Гуси аш-Шанни, ан-Найризи, Омар Хаййам, Ибн ал-Хайсан, Насир эд-Дин — на Востоке.

Клавий, Валлис, Лейбниц, Декарт, Плейфер, Лагранж, Саккери, Лежандр, Ламберт, Бертран, Фурье, Ампер, Даламбер, Швейкарт, Тауринус, Якоби — в Европе.

И еще несколько десятков известных и несколько тысяч безвестных математиков.

За счет проблемы пятого постулата можно было бы заполнить солидную психиатрическую клинику.

Это отнюдь не преувеличение. Многие люди тщетно тратили на попытки доказательства всю свою жизнь, приходя к мистическому ужасу либо к психическому заболеванию.

Одно из самых неожиданных свидетельств исключительной популярности этой проблемы — некое замечание Фомы Аквинского.

Фома был одним из крупнейших теологов христианского мира. В одном своем исследовании ему понадобилось почему-то решить сложнейшую проблему: «Что недоступно богу?»