Чтение онлайн

Там также есть Основные Понятия — фигуры. Есть аксиомы — совокупность правил игры. И наконец, есть теоремы. Собственно, одна теорема: как поставить противнику мат.

Для решения этой «теоремы» игрок в ходе партии доказывает десятки лемм (вспомогательных теорем), выбирая всякий раз лучший, по его мнению, ход в данной позиции.

Впрочем, отличие игр от геометрии есть. Оно состоит в том, что очень часто партнерами принимаются неправильные «доказательства». В шахматах, скажем, не сформулированы (неизвестны) строгие логические критерии оценки каждого хода или позиции. В геометрии они есть. В ней всегда можно установить, что вновь сформулированная теорема противоречит предыдущим теоремам, а значит, противоречит и более ранним, а значит… Разматывая клубок до конца, мы приходим к двум возможностям. Или мы допустили ошибку в нашем рассуждении, или теорема, которую мы вновь сформулировали, ошибочна.

Первая возможность малоинтересна для науки; она показывает лишь то, что мы плохо владеем математикой.

Зато во второй содержится определенный и часто очень важный результат. Если мы убедились, что наша гипотеза (теорема) неверна, следовательно, верны другие теоремы, именно те, что противоречат нашей. Если таких противоречащих теорем лишь одна, то нашим рассуждением мы ее доказали.

Последним абзацем, возможно в излишне туманной и абстрактной форме, мы разобрали схему очень распространенного в геометрии (как и вообще в математике) метода «доказательства от противного». Или по-другому — метода «приведения к абсурду» (reductio ad absurdum).

Чтобы не слишком воспарять, проследим на конкретном примере одно такое доказательство.

Пусть к прямой восстановлены два перпендикуляра. Будем пользоваться радианной мерой измерения углов и вместо 90 градусов писать /2.

Возможны два, и только два, варианта: они пересекаются в какой-то точке С; они не пересекаются вообще.

Докажем, что справедлива вторая теорема. Доказываем от противного.

Предположим, выполняется первое предположение: перпендикуляры пересеклись. Тогда образовался треугольник АВС [1] . Он замечателен тем, что внешний <В равен внутреннему <А. И конечно, внешний <А равен внутреннему <В.

Но существует теорема (ее истинность не будем сейчас подвергать сомнениям): «Внешний угол треугольника всегда больше любого внутреннего угла, не смежного с ним».

Наш треугольник теореме не удовлетворяет. Следовательно, такого треугольника быть не может. Следовательно, мы где-то ошиблись.

Проверяем рассуждение. Все правильно. Значит, ошибку мы сделали в самом начале, когда допустили, что перпендикуляры пересекаются.

Итак, перпендикуляры не пересекаются. Мы это доказали строго. Непересекающиеся прямые Евклид называл параллельными. И до поры до времени мы также будем придерживаться этой терминологии.

Подведем итог. Мы получили, что две прямые, перпендикулярные к общей прямой, параллельны. Вообще говоря, нам надо было бы еще доказать, что эти прямые не пересекутся и в нижней полуплоскости. Но это дословное повторение предыдущего доказательства, и время на него тратить не будем.

При доказательстве мы апеллировали к теореме о внешнем угле треугольника. Поскольку проницательный читатель, конечно, понял, что весь пример очень существен для дальнейшего, то без лишних разговоров докажем и эту теорему. Она предельно важна для нас. И вся история с пятым постулатом…

Прошу вас оценить детективный стиль рассказа — сам постулат еще никак не сформулирован.

Так вот, вся история с пятым постулатом завязалась именно с этой теоремы.

Пусть есть ABC. Поглядите! Внешний <Свн выделен на нем дужкой. Докажем, что он больше любого внутреннего угла, не смежного с ним, то есть больше <А и больше <В. Сейчас мы проведем доказательство для <В.

Разделим сторону ВС точкой D пополам и проведем через А и D прямую.

На этой прямой отложим отрезок DE, равный AD, и соединим прямой точку E с точкой C.

Треугольники ABD и DEC равны. Действительно, отрезки AD = DE и BD = DC по построению. Углы CDE и ADB равны как вертикальные.

Значит, треугольники равны по известному признаку.

Но тогда <В (или угол АВС) равен углу BCE! И о радость! Ведь <BCE лишь часть <Свн.

Итак, весь <Свн больше (конечно, больше; целое всегда больше своей части) <В.

Остался под сомнением <А. Сразу чувствуется, что наше построение не очень поможет с ним расправиться, так как на чертеже <А рассечен на две части. Хорошо бы его поставить в положение <В. Может быть, провести прямую из вершины В и повторить и наше построение и доказательство? Но тогда <Свн окажется расположенным по-другому.

Полная аналогия с предыдущим была бы, если бы еще продолжить сторону ВС и рассматривать новый угол N.

Угол N, конечно, больше <А. Мы это уже только что доказали.

И здесь озарение! <N = <Свн как вертикальные.

Все.

Внешний угол треугольника больше любого внутреннего, не смежного с ним. Мы доказали это, и теперь оговорку в скобке в конце 36-й страницы можно зачеркнуть.

Если внимательно и дотошно проанализировать весь путь… Если проверить, какие аксиомы мы использовали для доказательства теоремы о внешнем угле… А для этого надо, конечно, проверить и те аксиомы, что были использованы при доказательствах теорем о равенстве треугольников и равенстве вертикальных углов.

Если все это проделать, то окажется, что практически мы использовали почти все аксиомы.

Но нигде, нигде по пути мы не использовали ни самого понятия о непересекающихся (параллельных) прямых, ни (тем более!) теорем или аксиом о таких прямых.

В этом каждый может без труда убедиться, вооружившись списком аксиом и проанализировав все Понятия, необходимые для теоремы о внешнем угле и всех вспомогательных теорем.

Наш экскурс уже затянулся; пора вернуться к аксиомам.

Во-первых, установим, каким логическим требованиям они должны удовлетворять.

Требований всего два:

1) полнота;

2) независимость.

Первое означает, что аксиом должно быть достаточно, чтобы доказать или опровергнуть любое возможное утверждение о наших первичных Основных Понятиях или о более Сложных Понятиях, образованных из первичных.