Чтение онлайн

Лейбниц, который родился на четыре года позже, известен намного меньше Ньютона. Одни говорят, что это случилось вследствие вражды между двумя учеными, а другие — что вопреки ей. Как бы там ни было, теории Лейбница были шире, и глубже, чем Ньютона, к тому же современнее. Историк Пресервд Смит{64} назвал его последним универсальным гением, а Т. Г. Гексли{65} — самым понятным мыслителем со времен Аристотеля. В сферу его интересов входили история, экономика, теология, лингвистика, биология, геология, право, дипломатия и политика, а также математика, небесная и земная механика и в равной мере — философия. Прусский король Фридрих II Великий называл его «целой академией в одном человеке»{66}. И тем не менее Лейбниц даже не был академиком — в отличие от Ньютона. Он изучал юриспруденцию и зарабатывал себе на жизнь, выполняя юридическую и дипломатическую работу для своей родной Германии.

Кроме того, Лейбниц глубоко интересовался метафизикой, и это послужило одной из причин того, что они с Ньютоном не смогли найти общего языка. И тем не менее именно этот аспект философии позволил Лейбницу хотя бы в концептуальном отношении опередить Ньютона и проникнуть в ту область знания, которая в наши дни достигла своего расцвета и известна как современная физика. Он занимался важной символической логикой, бинарной арифметикой, которая легла в основу работы наших компьютеров, а также усовершенствовал первый механический калькулятор.

Джон Теодор Мерц, один из биографов Лейбница, описывал его как человека «среднего роста, со стройной фигурой, каштановыми волосами и всепроникающим взглядом небольших темных глаз. Обычно он ходил, опустив голову, что, возможно, было следствием близорукости или сидячего образа жизни»{67}.

Большинство портретов Ньютона выполнены в последние годы жизни, когда он уже занимал выдающееся положение, поэтому, как водится, его внешность несколько идеализировалась. Но не вызывает сомнения то, что у него был широкий лоб, что традиционно считается признаком развитого интеллекта, и, что особенно заметно на последних портретах, высокомерный взгляд. Нос длинный и тонкий, нижняя челюсть несколько неразвита.

По словам одного современника, его глаза были «живые и цепкие», а другой считал, что «в его взгляде и манерах было что-то вялое, не вызывавшее особых ожиданий у тех, кто не знал его хорошо» [6] . Возможно, в подобном расхождении отражаются чувства наблюдателей, а может быть, объяснение кроется в том, не пребывал ли Ньютон в тот момент в глубоких размышлений, которые у этого необыкновенного человека могли быть невероятно интенсивной. Когда Ньютон работал в Кембридже, о его отрыве от окружающего мира говорила небрежность в одежде и привычках, а также пренебрежение к еде и даже сну, если ученый в тот период работал над какой-то проблемой.

Неудивительно, что описывать столь неоднозначного человека очень сложно. Многое зависит и от периода его жизни: в юности его часто называли строгим и лишенным чувства юмора{68}, а в 75 лет группа посетителей из Франции нашла его восхитительным хозяином{69}.

И Ньютон, и Лейбниц создавали свои варианты исчисления бесконечно малых величин не на пустом месте. В середине XVII века основные составляющие этого метода уже были сформулированы благодаря работам многих ученых: в 1638 году Ферма обнаружил способ нахождения минимума и максимума в уравнениях. Аналитическая геометрия Декарта позволила заменить громоздкие геометрические схемы алгебраическими уравнениями. А «Арифметика бесконечного» Джона Валлиса установила связь между квадратурой кривых (в том числе круга, см. главу 2) и изображением касательных к ним.

Заметьте, что изображение касательной к кривой — это геометрическое действие. (Касательная — линия, соприкасающаяся с кривой в одной точке, но не пересекающая ее.) Угол между касательной и кривой можно измерить физически. Но, как стало ясно для математиков XVII века в случае с математическими кривыми, тот же результат можно получить и алгебраическим путем, причем более точно, создав математическое выражение того же угла.

Кроме того, кривую можно представить в виде траектории движущейся точки. Научиться работать с движущейся точкой было важно, потому что понятие движения занимало центральное место в философии того времени. Не только Гоббс, но и другие философы считали его основой всех явлений — как умственных, так и физических.

Например, Гоббс выдвинул идею усилия, т.е. вида импульса как для мысли, так и для действия; это было «начало» любого действия. Понятие включало в себя не только мгновенную скорость, основу самого дифференциального исчисления, но и давление или движущую силу, стоящую за движением.

Усилие, как предполагал Гоббс, «есть движение, совершенное через длину точки за одно мгновение»{70}. Другими словами, усилие для движения — это то же самое, что точка для линии, единица для бесконечности, миг для времени. Конечно же, математика и философия были тесно связаны в данных вопросах, и многие ученые, в том числе Гоббс и Лейбниц, активно работали в обеих областях.

Еще одной крайне важной проблемой было измерение и вычисление сложных кривых, площадей и объемов. Например, определение объема винных бочек всегда было насущной задачей, которую никто так и не смог до того времени решить. В этом вопросе тоже была проведена предварительная работа, в том числе существовал так называемый метод истощения, при котором площадь поверхности, ограниченная кривой, находилась путем вписывания в нее многоугольников со все большим числом граней. Естественно, он основывался на том же методе квадратуры, которым пользовался Архимед в работе с числом я (см. главу 2). Точно так же можно представить, что конус состоит из ряда окружностей, каждая из которых немного больше (или меньше) по диаметру, чем предыдущая.

Для нематематика все это кажется совершенно непонятным. Вольтер в свойственной ему резкой манере позже описывал дифференциальное исчисление как «искусство дробления и точного измерения предмета, существование которого нельзя ощутить». С другой стороны, Валлис смог развить этот метод с помощью нескольких блестящих трудов по бесконечным последовательностям. Ньютон изучал работу Валлиса зимой 1664–1665 годов{71}

Иными словами, другие математики уже занимались решением отдельных задач подобного рода с помощью геометрии и алгебры. Поэтому неудивительно, что Ньютон и Лейбниц независимо друг от друга и практически одновременно разработали метод дифференциального исчисления. Но поразительно в этом открытии то, что они подошли к нему с противоположных сторон.

Лейбниц, интересы которого охватывали множество областей, хотел разработать унифицированную систему знаний. Он был философом-холистом, ведущим отчаянную борьбу с проявлениями специализации — борьбу, которая продолжается по сей день. С этой целью он работал над универсальным научным языком и заинтересовался тем, что можно назвать «исчислением рассуждений». Он стремился создать метод, который облегчил бы ему работу с переменными и, в частности, с движением. Этим объясняется его интерес к идее усилия у Гоббса. Лейбниц искал общий логический метод — другими словами, исчисление как аналитический метод. Возможно, его можно было бы использовать и для того, чтобы раскрыть секреты человеческого поведения.

Для Ньютона исчисление бесконечно малых величин было скорее способом решения физических задач, еще одним математическим методом, который мог бы взять на вооружение физик. Он использовал его при работе со многими задачами, речь о которых идет в самой знаменитой его книге — «Математические начала натуральной философии», известной также как просто «Начала» (1687 год). Затем, по-видимому, он переработал эти задачи так, чтобы их можно было представить в привычном, преимущественно геометрическом виде.