Чтение онлайн

b3/6 (1 + 1/n)(2 + 1/n)

Спрашивается: что будет с этим выражением, если число и будет неограниченно возрастать? Ясно, что дробь 1/n будет неограниченно приближаться к нулю и ею мы можем пренебречь.

В таком случае предыдущее выражение в пределе обратится в

b3/3

что и является результатом нашего интегрирования. Знай, что это один из первых интегралов, полученных человеком, что человека этого звали Архимед и что он рассуждал примерно так, как и мы.

И тут Величайший Змии вырос снова перед ними. Он взглянул на Илюшу, и мальчику показалось, что это могущественное чудовище даже улыбнулось!

– 352 -

в которой Илюша припоминает разные разности из предыдущих схолий, оставшиеся не совсем ясными, а Радикс рассказывает ему об истории надгробного камня Архимеда, погибшего от меча римского грабителя, о спирали Архимеда.

Затем следует масса любопытнейших подробностей о веретенах, о шотландском сыре, о фокусах, которые придумали древнегреческие геометры, о том, как в старину индусы решали кубические уравнения, как в шестнадцатом веке бедный мальчик-заика учился на кладбище грамоте, а также почему у квадрата такая большая площадь и что по этому поводу думает касательная; о битве за высоту над городом Клермоном. А затем Илюша присутствует при волшебном опыте, который поясняет, что такое прямая линия и какие чудеса с ней случаются при ее путешествиях в мировом пространстве. Вслед за этим Илюша и Радикс видят нечто чрезвычайно странное... Но пока это еще страшный секрет, который, может быть, раскроется в будущем...

– Ну, теперь ты доволен?
– спросил Радикс.

– Да, - сказал Илюша, - я узнал массу интересных вещей. Теперь я, кажется, понимаю, почему так уважают Архимеда и как велико могущество Змия. Но только у меня есть еще вопросы.

– Ну что ж! Давай твои вопросы. Может быть, как-нибудь вдвоем разберемся.

– 353 -

– Помнишь, ты где-то, кажется в Схолии Одиннадцатой, перечислял мне титулы Величайшего Змия? Так вот, я хотел тебя спросить о них. О площадях я теперь понял: путем интегрирования можно получить площадь любой криволинейной фигуры. С объемами я тоже как будто сообразил. Это, вероятно, делается путем суммирования бесконечно тонких слоев тела, как Демокрит считал объем конуса?

– Правильно. А сейчас мы можем закончить вывод формулы для объема конуса, о которой мы толковали в Схолии Пятнадцатой. Если рассечь конус плоскостью, проходящей через его ось, то получится треугольник. Из рассмотрения этого треугольника ты убедишься в том, что радиус основания цилиндрика, отстоящего на расстояние h от вершины, определится при помощи пропорции:

r/R = h/H

где R - радиус основания, а H - высота конуса. Отсюда

r = (R/H)h

и площадь основания цилиндрика будет

πr2 = π(R2/H2)• h2

Теперь предположим, что мы делим высоту конуса на n частей.

Тогда высота каждого цилиндрика будет H/n, а последовательные расстояния оснований цилиндриков от вершины конуса, то есть радиусы этих оснований, будут

h, 2h, 3h,... nh.

Поэтому сумма объемов этих цилиндриков равна

π(R2/H2)• H/h (h2 + 22h2 + ... + n2h2) = π R2/H (12 + 22 + ... + n2) / n3

Как и в предыдущей схолии, ты убедишься, что предел последнего множителя при неограниченном возрастании n будет равен 1/3, и для объема конуса получается выражение:

1/3 π R2 H

– 354 -

Множитель 1/3 ты можешь рассматривать как лежащую на этой формуле печать Великого Змия.

– Как интересно!
– сказал Илюша.
– А с объемом шара можно справиться таким способом?

– Я приведу тебе только чертеж, который, по преданию,

Архимед завещал вырезать на своем надгробном памятнике.

Здесь ты видишь цилиндр, вписанный в него шар радиуса R и конус. Разбей все три тела на тонкие "цилиндрические" слои и легко установишь, что на расстоянии h от центра шара площадь поперечного сечения самого шара равна:

π (R2– h2) = π R2– πh2

то есть разности площадей поперечных сечений цилиндра и конуса. Суммируя объемы всех тонких цилиндрических пластинок и переходя к пределу, как мы это делали для конуса, находим, что и объем шара тоже будет равен разности объемов цилиндра и конуса. Этот закон и был открыт Архимедом.

Таким путем можно найти не только объем всего шара, но и объем любого шарового слоя. В формулы войдет опять множитель 1/3, печать Великого Змия, свидетельствующая о том, что здесь приходилось интегрировать функцию, содержащую квадрат переменной (в данном случае - квадрат высоты h).

– Очень хорошо!
– отвечал мальчик.
– А теперь вот еще что. Ты назвал Великого Змия развертывателем спиралей. Что это значит?

– Это значит, что путем интегрирования можно получить длину дуги любой кривой, например параболы, окружности и так далее. В частности, и длину спирали. Мы ведь уже говорили, как находится длина дуги.

– Но я должен сознаться, - вздохнув, сказал Илюша, - что до сих пор не пойму, как при помощи этой спирали получается длина окружности, то есть почти квадратура круга?

– Конечно, история эта необычная, - отвечал Радикс.
– Из-за нее в средние века долго ломали голову над вопросом квадратуры круга и ни к какому разумному заключению не пришли. Совсем запутались. Начали даже поговаривать, что геометрия - наука, может быть, не слишком точная... Вес это довольно сложно.

– 355 -

Могу рассказать лишь о самом принципе этой работы Архимеда. Дело было так. До Византии еще дошла биография Архимеда, написанная его учеником Гераклидом. Затем она была утрачена. Но ее еще читал и изучал византийский математик Евтокий, оставивший очень ценные комментарии к сочинениям Архимеда. По словам Евтокия,

Архимед дал два решения о квадратуре, причем одно из них было приближенным...

– Двадцать две седьмых!
– воскликнул Илья.

– Правильно!
– отвечал Радикс.
– А другое решение Архимеда было точным!

– А разве это возможно?

– Слушай меня как только можешь внимательно! Я расскажу тебе, в чем заключается принцип этой работы Архимеда. А уж потом мы постараемся рассудить, что возможно и что невозможно. Здесь вся сила в том, что Архимед, построив свою спираль, ввел в античную математику еще одну, как говорили греки, "механическую" замечательную кривую, то есть такую, свойства которой не могут быть изложены средствами, близкими к элементарной геометрии (в отличие, например, от многих, хотя и не всех свойств конических сечений). Такова и квадратриса, о которой мы уже говорили (эти кривые называются "трансцендентными" кривыми). В силу этого сочинение Архимеда о спиралях и критиковалось в древности! И даже очень жестоко! Только уж в семнадцатом веке в Европе эта дивная работа Архимеда наконец была оценена по своему превосходному достоинству. Нужны были новые основания, новый подход к пониманию для такой кривой, и гений Архимеда нашел их. Эти новые основания и были дифференциальным подходом к изучению кривой, то есть тонким изучением скорости изменения некоторых связанных с ней отрезков. И делается это опять-таки через ту же касательную.