Чтение онлайн

Значит, я дойду до абсциссы е • е = е2. Дальше будет то же самое. Когда я дойду от х = е до абсциссы х = еn, наберется площадь, равная n.

– Значит, - сказал Радикс, - числа, измеряющие величины гиперболических трапеций в обычной единице меры, будут...

Логарифмами конечных абсцисс при основании е, - отвечал Илюша.
– Так это ведь и есть натуральные логарифмы?

Точки А и В лежат на кругах, но которым вписанные шары соприкасаются с конусом. Ясно, что ВА есть величина постоянная? А ну-ка, докажи это равенство!

F1P + F2P = BP + РА = ВА

Кто сам докажет, того переводим без экзаменов в следующую схолию. F1 и F2– фокусы.

– 371 -

– Вот именно. И заметь, что это рассуждение дает нам в руки способ вычисления этих логарифмов для любых положительных чисел, что далеко не так просто сделать, если искать нужный показатель степени. Потому что вычислять с дробными степенями, как ты сам, вероятно, не раз замечал, не так уж весело. Здесь же можно просто отложить абсциссу, равную числу N, логарифм которого тебе нужен, и измерить площадь гиперболической трапеции от х = 1 до х = N.

– Но это уже будет геометрический способ. А потом как же быть с большими числами?

– На миллиметровой бумаге можно добиться довольно большой точности, а для больших чисел придется уже вычислять. Вспомни, как мы вычисляли площадь, ограниченную дугой параболы. Ты ведь и здесь можешь разбить интересующий тебя участок на большое число частей и вычислить (а не измерять непосредственно) сумму площадей соответствующих тоненьких прямоугольников. Это уже можно сделать с любой степенью точности, то есть той, какая понадобится.

Но есть и более удобные способы вычисления логарифмов.

– А какие же логарифмы применяются на самом деле, -спросил Илюша, - натуральные или какие-нибудь другие?

– Натуральные обладают целым рядом преимуществ перед остальными, и в математическом анализе применяются почти исключительно они. Но в практических вычислениях удобнее иметь дело с десятичными, для которых и составлены таблицы.

А если надо перейти от десятичных к натуральным или наоборот, то пользуются модулем перехода, о котором мы уже говорили. Чтобы получить десятичный логарифм, надо натуральный умножить на

M = 0,43429 44809 032518 276511 289189 1660508 2294397 005803 7675761 1445378 ...

– 372 -

Это число называется модулем десятичных логарифмов.

– А нельзя ли десятичные логарифмы получить тоже как площади гиперболических трапеций?

– Конечно, можно. Перемена основания соответствует, как мы уже видели, просто перемене способа измерения площадей. Если ты в качестве единицы для измерения площадей выберешь основную гиперболическую трапецию, простирающуюся от х = 1 до х = 10, то как раз и получишь десятичные логарифмы. Так как единица измерения увеличилась, то площади будут выражаться меньшими числами, то есть десятичные логарифмы будут меньше натуральных, почему и модуль их меньше единицы.

– А почему обычные логарифмы - десятичные, а не какие-нибудь другие?

– Просто потому, что мы пользуемся десятеричной системой счисления.

Древний халдей, вероятно, выбрал бы для основания не десять, а свое любимое число шестьдесят, если бы он додумался до логарифмов. А в десятеричной системе счисления сразу известны логарифмы чисел 10, 100, 1 000, 10 000 и т. д. Они равны 1, 2, 3, 4... Поэтому, умножая какое-нибудь число на десять, сто и так далее, сразу можно сказать, что десятичный логарифм этого числа увеличится на единицу, на два и прочее, а при делении будет наоборот. Это очень облегчает пользование таблицами.

Илюша помолчал минутку.

– А это что такое?
– спросил доктор У. У. Уникурсальян.

– Вот что, - произнес он наконец, - мне кажется, что теперь я могу разобраться, почему при помощи логарифмов умножение заменяется сложением. Если взять гиперболическую площадку от х = 1 до х = n, то это будет логарифм числа n. Если к нему рядом приладить еще одну площадку величиной от х = 1 до х = m, то есть логарифм числа га, то, как мы уже делали раньше, придется вторую площадку растянуть от n до nm, удлинив абсциссу в m раз. Значит, тут конечные абсциссы (то есть числа) перемножаются, в то время как площади складываются.

– 373 -

Вот теперь мне, кажется, все ясно. Значит, одно из конических сечений имеет самое тесное отношение к прогрессиям. Как все это связано!

– Вот эта связь различных разделов математики друг с другом и есть величайшая драгоценность нашей науки [27] .

– Как интересно!
– воскликнул Илюша.
– А скажи, пожалуйста, когда были открыты логарифмы?

– В начале семнадцатого века Джоном Непером, шотландцем.

– А-а!
– сказал Илюша.
– Вот в чем дело-то! Вот при чем тут шотландский сыр!

– Конечно! Про этого Непера говорили, что он увеличил вдвое продолжительность жизни астронома, потому что с логарифмами можно насчитать вдвое больше, чем без них. Разумеется, нетрудно догадаться, что все, что мы проделали с неделимыми, можно отлично перевести и на современный язык теории пределов, стоит только вместо суммы "неделимых полосок" рассматривать предел суммы бесконечно утончающихся вписанных или описанных прямоугольничков, как мы делали уже в Схолии Пятнадцатой.

– А теперь расскажи еще про гиперболу. Греки определили параболу как геометрическое место. А гиперболу нельзя так определить?

– Можно. И гиперболу и эллипс. В эллипсе есть две весьма замечательные точки. Чтобы показать их тебе, я впишу в конус два соприкасающихся шара: один поближе к вершине конуса, другой подальше. Второй шар будет побольше, первый поменьше. Теперь я просуну между ними секущую плоскость (которая, разумеется, не имеет толщины). Оба шара будут ее касаться в одной точке, если плоскость будет лежать параллельно основанию конуса. И эта точка касания будет центром тон окружности, которая будет сечением конуса этой самой плоскостью. Теперь я начну секущую плоскость наклонять.

Так как шары ее крепко держат, то мы попросим первый шар, который поменьше, потесниться и сделаться немного меньше.

Вот как чертится эллипс.

Кто скажет, в каком отношении друг к другу находятся отрезки F1E и F2E - с одной стороны, и большая ось эллипса AB -с другой? Карандаш уверяет, что стоит ему дойти до точки...

Когда таким образом нам удастся повернуть секущую плоскость под некоторым углом к основанию конуса, то сечение конуса станет уже не кругом, а эллипсом, а два шара будут касаться секущей плоскости (а тем самым и плоскости эллипса) в двух точках, а не в одной.