Чтение онлайн

u 0 + u 1 + u 2 + … + un

определяется как сходящаяся, если последовательность

S0 = u0, S1 = u0 + u1, S2 = u0 + u1 + u2,

Sn = u0 + u1 + u2 + … + un

является сходящейся.

3. Разумеется, предпочтительнее определять вещь в терминах того, чем она является, чем в терминах того, чем она не является, поскольку, как правило, указание на то, чем вещь не является, не позволяет в достаточной мере отграничить ее от других вещей. Так, определение наручных часов (watch) как хронометра, не являющегося настенными часами (clock), не будет удовлетворительным, если существуют и другие хронометры помимо наручных и настенных часов. Однако важно не переоценить данное правило, ибо в некоторых случаях определение вещи в терминах того, чем она не является, может оказаться адекватным. Так, определить неравносторонний треугольник как треугольник, который не является ни равносторонним, ни равнобедренным, значит идеально отграничить неравносторонние треугольники от всех остальных, с условием того, что указана геометрическая система, в которую включен данный треугольник. В некоторых случаях отрицательные определения становятся неизбежными. Так, определение сироты как ребенка, у которого нет родителей, с необходимостью должно состоять из отрицательных терминов, ибо состояние сиротства является отрицанием состояния обладания родителями. Читатель без труда сможет указать и на другие примеры подобных терминов, например, на термины «независимость», «параллельный», «банкрот», «неплатежеспособный». Более того, вопрос о том, считать ли определение отрицательным или положительным, зачастую зависит от языковых конвенций. Некоторые языки могу обладать положительным термином для выражения определенной идеи, тогда как в других эта же самая идея будет выражена в отрицательном термине. Следовательно, определение может выглядеть отрицательным только потому, что один из составляющих его терминов по своей форме является отрицательным. Так, определить пьяницу как человека, который несдержан в выпивке, не означает нарушить указанное правило, ибо несдержанность (intemperance) сама по себе определяется в терминах злоупотребления спиртным.

4. Главная опасность, содержащаяся в определениях, выраженных метафорическим языком, заключается в том, что метафоры могут наводить на значения, которые вовсе и не предполагаются в определении. Так, определение слова «король» термином «кормчий государства» может вводить в заблуждение, поскольку порождает мысль о том, что король может управлять судьбами нации, согласно предначертанному курсу.

Требование, согласно которому определяющее выражение не должно быть неясным, выражает психологические мотивы для определений. Классическим примером определения, нарушающего данное психологическое требование, является предложенное Сэмюэлем Джонсоном определение слова «сеть»: «ретикулярное изделие с перекрестиями на заданных интервалах и пустотами у пересечений».

При этом присутствие в определяющем выражении терминов, неизвестных большинству читателей, не делает определение неясным. В физике «действие системы частиц» определяется как «сумма всех частиц среднего количества движения для равных расстояний, умноженная на расстояние, пройденное каждой частицей». Разумеется, компетентному специалисту в аналитической динамике, в отличие от неподготовленного новичка, данное определение неясным не кажется.

Согласно традиционному подходу, определение состоит из разложения данного вида на род и видовое отличие. Однако сам род также может быть разделен на разные виды. Так, плоская фигура как род может быть разделена не только на виды треугольника, но и на виды четырехугольника, конического сечения и т. д. Указание различных видов одного и того же рода называется логическим делением, или просто делением. Род, с которого начинается процесс деления, называется высший род. Виды, получившиеся в результате деления рода, могут, в свою очередь, делиться и дальше. Виды, которыми заканчивается деление, называются низшими видами. Промежуточные виды между высшим родом и низшими видами называются подчиненными родами.

Процесс деления, с точки зрения объема термина, заключается в расчленении класса на составляющие его подклассы. Деление, следовательно, связано с определением, поскольку определение задает границы класса, определяемого термина. Однако если на деление термина посмотреть не с точки зрения составляющих его видов, а с точки зрения относящихся к нему индивидных членов, тогда процесс деления связывается и с классификацией. Деление разбивает род на виды, тогда как классификация группирует индивидов в классы, а получившиеся классы – в еще более общие классы.

Для проведения успешного логического деления был выработан определенный набор правил. Эти правила также применимы и к классификации.

1. Деление должно быть исчерпывающим.

2. Составляющие некоторый род виды должны исключать друг друга.

3. На каждом этапе деление должно осуществляться по одному принципу, основанию деления.

Так, если мы разделим рациональные числа на четные и нечетные, то нарушим первое правило, ибо не учтем дроби. Первое правило требует учета всех видов, составляющих род. Мы нарушим второе правило, если разделим четырехугольник, как род, на ромбоиды, параллелограммы и прямоугольники, поскольку все прямоугольники являются параллелограммами. Принцип, по которому осуществляется деление, называется основанием деления. При делении профессоров на математиков, физиков и т. д. основанием деления является их специализация, если мы разделим их на плохих и хороших преподавателей, то основанием деления будут их риторические навыки. Деление, подчиняющееся третьему правилу, будет с необходимостью подчиняться и второму. Но обратное ложно. Так, деление числа, как рода, на четные, нечетные и дробные числа дает взаимоисключающие виды, но основание деления при этом не одно и то же.

Несмотря на то что, с формальной точки зрения, данные правила не допускают исключений, на практике они не всегда помогают. Они, скорее, выражают некий идеал, чем формулируют метод. Более того, в хорошо развитой науке данный идеал оказывается неадекватным. К науке он скорее применим только в период ее младенчества.

Мы не можем получить удовлетворительного определения, деления или классификации, пока в подробностях не изучим предметную область. Во-первых, когда мы имеем дело с существующей предметной областью, мы никогда не можем быть уверены в том, что проведенные нами деление и классификация являются исчерпывающими. Внезапно появившийся новый и непредвиденный составной элемент предметной области может полностью нивелировать идею развиваемой нами системы или, по крайней мере, заставить нас ее серьезно пересмотреть. Точно так же мы никогда не можем быть уверены в том, что подчиненные роды на самом деле исключают друг друга. Данное предупреждение является следствием утверждения о том, что никогда нельзя быть уверенным в том, что деление исчерпывает предметную область, поскольку всегда может появиться ранее неизвестный подкласс, обладающий свойствами некоторых других уже установленных видов.

Во-вторых, процесс научной классификации по своей природе похож на продвижение на ощупь и не является столь формальным, как того требуют перечисленные правила. Даже до начала непосредственного и самостоятельного развития науки опыт принуждал к усмотрению некоторых видов вещей, в которых определенные сочетания качеств имели место с большим или меньшим постоянством. Так, в нерефлективном опыте признаются такие объекты, как деревья, земля, животные и т. д., на основании очевидных сходств между отдельными представителями этих типов. Однако с развитием знания свойства, являвшиеся не столь заметными, стали считаться основой для классификации или деления. Так, хотя дельфин во многом похож на рыбу, в современной биологии он классифицируется как млекопитающее, поскольку вскармливает свое потомство. Основание для классификации зависит от обнаружения определенного значимого признака, в силу которого предметная область может быть организована в более систематическом виде. Однако для обнаружения таких признаков требуется длительное время, и поэтому они не могут детерминироваться исключительно формальным образом.

Все науки на своем начальном этапе являются классифицирующими, готовыми принять любую случайную схему группировки объектов с целью овладения предметной областью. В современной биологии классификация родов до сих пор не соответствует третьему из приведенных выше правил. Антропология до сих пор не смогла выйти из классификационного этапа, а химия до недавнего времени также довольствовалась классификацией своей предметной области, лишь представляющей элементы, соединения и реакции. Однако сегодня химия организована на основе физических принципов, которые в более ясной форме проявляют предметную область химии и связь этой науки с другими науками.

Исчерпывающего деления на взаимоисключающие элементы всегда можно достигнуть, разделяя род на составляющий вид и его отрицание. Именно с помощью этого метода Аристотель получил исчерпывающий набор возможных отношений между субъектом и предикатом. Данный метод называется дихотомическим делением. Проиллюстрирован он может быть следующим образом:

Несмотря на то что дихотомия обеспечивает исчерпывающий характер деления и взаимоисключение терминами друг друга, она не является существенным продвижением по сравнению с обычным делением. Практическая сложность отыскания значимых оснований деления остается. При этом, осуществляя дихотомическое деление, мы также не можем быть уверены в том, что все подклассы содержат элементы. Более того, данный метод в некотором смысле является нескладным, и в современной логике было показано, как дихотомическое деление можно осуществлять почти в механическом режиме. Допустим, к примеру, что мы хотим классифицировать население Соединенных Штатов на основаниях половой принадлежности, возраста, превышающего тридцать лет, и обладания хорошим или исключительным здоровьем. Пусть «1», как обычно, представляет универсум рассуждения; « а » – представителей мужского пола, « а '» – женского; « b » – тех, кому за тридцать, « b '» – тех, кому тридцать или меньше; « с » – тех, у кого хорошее или исключительное здоровье, « с '» – тех, у кого плохое здоровье. Население Соединенных Штатов можно, таким образом, разделить на восемь групп:

1 = ( a + a ') = ( a + a ') ( b + b ') = ( a + a ') ( b + b ') ( c + c ') = abc + abc ' + ab ' c ' + a ' bc + a ' bc ' + a ' b ' c + a ' b ' c '.