Чтение онлайн

В следующие четыре лета, начиная с 1953 по 1956 год, я проводил по два месяца на Рижском взморье уже без матери, сперва с Мищенко, а потом к нам приезжал и Гамкрелидзе. Мы жили на туристской базе дома учёных. Туризм заключался в том, что отдыхающие там граждане ездили на автомобилях по окрестным городам, в Ригу и даже в Эстонию, осматривая архитектурные достопримечательности и прочее. Но нам с Мищенко это было совершенно неинтересно. Каждое утро после завтрака мы отправлялись на берег, где брали лодку, и ездили по реке Лиелупе. Перебирались на другую сторону, там купались, читали. Иногда выезжали даже в Даугаву и в открытое море. Лето 1955 и 1956 годов я провёл на Рижском взморье с Гамкрелидзе.

В 1956 году мы жили на турбазе с Ревазом вдвоём в одной комнате. Одновременно там на взморье жила ещё и Лида Юденсон вместе со своим сыном, моим крестником. Как раз накануне нашего отъезда из турбазы произошёл очень неприятный случай, в значительной степени вызванный неосторожным поведением Лиды. Мы шли втроем по посёлку — Гамкрелидзе, я и Лида. Навстречу нам наперерез пошёл пьяный латыш. Лида оттолкнула его. Он разъярился и бросился на нас в драку. Гамкрелидзе ударил его и вызвал сильное кровотечение. Он ударил по надбровью. Сразу же появились другие пьяные латыши. Они окружили нас. Мы бросились в клуб. Там Гамкрелидзе встал к стенке и стал кричать: «Дайте мне мою финку, я его зарежу!» Вокруг стояли с кулаками латыши, готовые броситься на Реваза.

К счастью, в том же клубе находился кое-кто из нашей турбазы. Они быстро сбегали за латышками — жёнами этих пьяных латышей, и скандал удалось ликвидировать. Но ночевали мы уже в страхе, мы опасались, что на нас могут ночью напасть. Вся турбаза занимала несколько старых дач, очень некомфортабельных. Например, в той комнате, в которой я жил с кем-нибудь из своих друзей — с Мищенко или с Гамкрелидзе, просто стояли две кровати, стол и две табуретки. Вот и вся обстановка комнаты. Ни шкафов, ничего больше не было. Так же были устроены и другие комнаты.

Проводя на Рижском взморье, в Латвии, четыре лета, я пришёл к убеждению, что среди латышей очень распространено пьянство, от которого безумно страдают женщины. Там считается величайшим несчастьем для женщины иметь мужа-пьяницу. Но это несчастье довольно часто встречается.

К 1952 году мои главные ученики, закончившие аспирантуру в университете и защитившие там диссертации, а именно: Мищенко, Гамкрелидзе и Болтянский, стали уже сотрудниками Стекловского института, Болтянский с обязанностями моего помощника.

Годом или двумя раньше руководство института в лице зам. директора М. В. Келдыша и партийная организация стали настойчиво рекомендовать мне не ограничивать свою научную деятельность топологией, а заняться также прикладными задачами, а именно теми самыми, которыми я занимался с Андроновым, т.е. теорией колебаний и теорией регулирования. Я был склонен сделать это и сам, но всё откладывал. Здесь меня подтолкнул Е. Ф. Мищенко, который настойчиво стал просить начать работу уже в 1952 году.

Мы организовали в Стекловском институте семинар под моим руководством по теории колебаний и теории регулирования. Но сперва совершенно не знали, что же нам делать? Поэтому вначале мы просто стали изучать книгу «Теория колебаний» Андронова, Витта и Хайкина.

Математическая часть книги не представляла для нас интереса, так как это были обыкновенные дифференциальные уравнения, которые мы достаточно хорошо знали. Мы стали изучать по этой книге работу различных физических приборов. Изучение работы приборов осуществлялось при помощи описания их обыкновенными дифференциальными уравнениями и исследования этих уравнений. Соответствующие уравнения представляли собой математическую идеализацию прибора. В некоторых случаях возможны были различные идеализации. От удачного выбора идеализации зависел успех исследования. Из этого вытекало, что наша работа не должна была заключаться в рассмотрении и решении уже готовых уравнений, а должна была включать изучение самих приборов и составление уравнений. Таким образом, нам пришлось познакомиться с такими физическими понятиями, как ёмкость, самоиндукция, взаимоиндукция, электрическая цепь, законы Кирхгофа, ламповый генератор и тому подобное. Также мы стали привлекать на наш семинар докладчиков-инженеров, прикладников, которые рассказывали нам о своих задачах, но не формулировали их в математической форме, а излагали техническую постановку вопроса. На семинаре был заведён порядок, согласно которому чисто математические доклады не допускались. Всякий доклад должен был начинаться с описания прибора и вывода соответствующих ему уравнений и исследования этих уравнений. Этот порядок ввёл я и твёрдо его держался.

Таким способом мы ознакомились с очень большим количеством технических проблем и сумели выискать среди них те, которые приводят к интересным математическим задачам, доступным нашему изучению. На этом пути мы пришли к трём важным математическим проблемам, имеющим реальное прикладное значение. Увлечённые новой проблематикой, мы скоро полностью забросили топологию.

Расскажу теперь подробнее о тех трёх главных математических проблемах, которые привлекли наше внимание.

1. Электронный прибор конструируется обычно из ряда деталей: ёмкость, самоиндукция, взаимоиндукция и тому подобное, которые имеют определённые числовые характеристики. Но кроме этих деталей, входящих в прибор по замыслу конструктора, в нём возникают не предусмотренные конструктором паразитные детали. Так, например, короткие проводники дают дополнительное малое сопротивление. Близко расположенные детали могут давать ёмкость, также малую, паразитную. Так как числовые параметры, характеризующие эти паразитные детали, малы, то при составлении уравнений их обычно заменяют нулями.

Оказывается, однако, что в некоторых приборах эти малые паразитные параметры стоят коэффициентами при высших производных. Заменяя их нулями, мы снижаем порядок уравнений, грубо говоря, заменяем некоторые дифференциальные уравнения обыкновенными уравнениями, которые могут оказаться неразрешимыми относительно переменных, так что систему уравнений невозможно привести к нормальной форме. Из-за этого возникают трудности при решении такой системы уравнений и необходимость при изучении прибора дополнить полученную систему уравнений некоторыми физическими гипотезами. Если же при составлении уравнений учитывать малые величины, входящие в уравнения, то получается система уравнений с малым параметром при производных. Такие системы уравнений стали объектом нашего изучения в первую очередь. Этой задачей мы занимались сначала с Е. Ф. Мищенко, а потом к ней примкнул и ряд других математиков. Здесь было получено много важных и интересных математических результатов [40] .

2. Как-то в Стекловский институт пришёл специалист по самолётам и сформулировал нам следующую интересную задачу. Он сказал: «Если один самолёт преследует другой, то лётчик обычно умеет это делать. Но нам хотелось бы иметь математическую теорию, описывающую преследование одного самолёта другим самолётом». Такая теория преследования и убегания была впоследствии нами построена, хотя не для самолётов, а для более простых объектов, и составила математическую теорию дифференциальных игр [41] .

Игровой эта задача является потому, что поведение каждого из объектов, как преследующего, так и преследуемого, заранее неизвестно. В каждом самолёте, сидит пилот, который, скажем, в каждый момент времени может изменить его поведение по своему усмотрению. Дифференциальные — потому что движение самолёта даётся дифференциальными уравнениями. Игровой элемент задачи на первых порах представлялся нам непреодолимой трудностью. Поэтому мы упростили задачу, сделав её неигровой. И пришли к третьей задаче, которой занялись раньше, чем второй.

3. Мы стали рассматривать один управляемый объект вместо двух и считать, что вся наша задача заключается в том, чтобы перевести его из одного состояния в другое наиболее быстрым способом. Говоря в «самолётных» терминах, можно сказать: как управлять самолётом, чтобы, учитывая всю обстановку, перейти из одного пункта в другой наибыстрейшим образом. Это привело нас к математической теории оптимального управления, которая явилась главным достижением всей нашей деятельности [42] .