Чтение онлайн

Для П. последовательностей имеют место формулы

 (c– постоянная)

Эти формулы справедливы в предположении, что П., стоящие в их правых частях, существуют, причём в формуле для П. частного xn /yn надо ещё дополнительно потребовать, чтобы

. Если xn lb yn и последовательности xn и yn , n = 1, 2,... сходятся, то

т. е. при предельных переходах нестрогие неравенства сохраняются (но из xn < yn не вытекает

, например, 1/n > 0, n = 1, 2,... однако ). Если  и xn lb zn lb yn , то последовательность zn , n = 1, 2,..., сходится к тому же П.:

Последовательность an , n = 1, 2,..., сходящаяся к нулю, называется бесконечно малой. Последовательность сходится к какому-либо числу тогда и только тогда, когда разность между членами последовательности и этим числом является бесконечно малой последовательностью (т. о., общее понятие П. последовательности сводится к понятию бесконечно малой ). Так, например, последовательность 1 /2 , 2 /3 , 3 /4 ,...,n /(n + 1),... имеет своим П. единицу, поскольку разность 1 — n /(n + 1) = 1/(n + 1), n = 1, 2,... является бесконечно малой последовательностью.

Всякая возрастающая (убывающая) последовательность, ограниченная сверху (соответственно снизу), сходится. Например, если для заданного числа а обозначить через an приближённое значение его корня

 (k — натуральное число) с n десятичными знаками после запятой, вычисленное с недостатком, то an lb an+1 lb , n = 1, 2, …, поэтому последовательность an , сходится, причём из неравенства 0 lb  - an lb 10– n следует, что . Др. примером возрастающей ограниченной сверху последовательности является последовательность длин периметров правильных многоугольников, вписанных в данную окружность, к длине которой сходится эта последовательность.

Для того чтобы сходилась произвольная последовательность xn , необходимо и достаточно, чтобы она удовлетворяла критерию Коши: для любого числа e > 0 существует такой номер Ne, что для всех номеров m &sup3; Ne и n &sup3; Ne выполняется неравенство |xn — xm | < e.

Если последовательность xn , n = 1, 2,..., такова, что для числа e > 0 существует такой номер ne , что для всех номеров n &sup3; ne выполняется неравенство |xn | > e, то последовательность xn , называется бесконечно большой и пишется

Если же при этом для любого e > 0 существует такой номер ne , что xn > e (соответственно xn < -e) для всех n &sup3; ne , то пишется

(соответственно )

Эти П. называются бесконечными. Например,

. В случае же последовательности n2 , n = 1, 2, …,, можно написать не только  но и более точное равенство . Само собой разумеется, что бесконечно большие последовательности не являются сходящимися в смысле данного выше определения этого понятия. На бесконечные П. переносятся далеко не все свойства конечных П. Например, последовательности xn = n и yn =

 — n бесконечно большие, а последовательность xn + yn ,, n = 1, 2,..., ограниченная и к тому же расходящаяся.

Частичные пределы. Верхний и нижний пределы . П. (конечный и бесконечный) какой-либо подпоследовательности называется частичным пределом последней. Из всякой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность (теорема Больцано — Вейерштрасса), а из всякой неограниченной — бесконечно большую. В множестве всех частичных П. последовательности всегда имеется как наибольший, так и наименьший (конечный или бесконечный). Наибольший (соответственно наименьший) частичный П. последовательности xn , n = 1, 2,..., называют её верхним (соответственно нижним) пределом и обозначается

 (соответственно ). Например,

Последовательность имеет конечный или бесконечный П. тогда и только тогда, когда её верхний П. совпадает с нижним, при этом их общее значение и является её П. Конечный верхний П. последовательности можно также определить как такое число а, что при любом e > 0 существует бесконечно много членов последовательности, больших, чем а — e, и лишь не более, чем конечное число членов, больших, чем a + e.

Предел функции . Пусть функция f , принимающая действительные значения, определена в некоторой окрестности точки x , кроме, быть может, само'й точки x . Функция f имеет П. в точке x , если для любой последовательности точек xn , n = 1, 2,..., xn &sup1; x , стремящейся к точке x , последовательность значений функции f (xn ) сходится к одному и тому же числу А, которое и называется пределом функции f в точке x , (или при x ® x ) при этом пишется

или

f (x ) ® A при x ® x