Чтение онлайн

В силу этого определения на П. функций переносятся свойства П. суммы, произведения и частного последовательностей, а также сохранение неравенств при предельном переходе.

Определение П. функции можно сформулировать и не прибегая к понятию П. последовательности: число А называется пределом функции f в точке x , если для любого числа e > 0 существует такое число d > 0, что для всех точек х &sup1; x , удовлетворяющих условию &frac12;х — x &frac12; < d, x &sup1; x , выполняется неравенство &frac12;f (x ) — A&frac12; < e.

Все основные элементарные функции: постоянные, степенная функция хa, показательная функция ax , тригонометрические функции sinx, cosx, tgx и ctgx и обратные тригонометрические функции arcsinx, arccosx, arctgx и arcctgx во всех внутренних точках своих областей определения имеют П., совпадающие с их значениями в этих точках. Но это не всегда бывает так. Функция

являющаяся суммой бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем q = 1/(1 + x2 ), < q < 1, в точке х = 0 имеет П., равный 1, ибо f (x ) = 1 + x2 при x &sup1; 0. Этот П. не совпадает со значением функции f в нуле: f (0) = 0. Функция же

вовсе не имеет П. при х ® , ибо уже для значений xn = 1/ (p/2 + pn ) последовательность соответствующих значений функции f (xn ) = (– 1) n не имеет П.

Если П. функции при х ® х равен нулю, то она называется бесконечно малой при х ® х . Например, функция sinx бесконечно мала при х ® 0. Для того чтобы функция f имела при х ® х П., равный А, необходимо и достаточно, чтобы f (x ) = A + a(x ), где a(х ) является бесконечно малой при х ® х

Если при определении П. функции f в точке x рассматриваются только точки х, лежащие левее (правее) точки x , то получающийся П. называется пределом слева (справа) и обозначается < image l:href="#"/> (соответственно

Функция имеет П. в некоторой точке, если её П. слева в этой точке равен её П. справа. Понятие П. функции обобщается и на случай, когда аргумент стремится к бесконечности:

Например,

означает, что для любого e > 0 существует такое d > 0, что для всех х, удовлетворяющих условию x > d, выполняется неравенство &frac12;f (x ) - А&frac12; < e.

Примером функций, всегда имеющих П., являются монотонные функции . Так, если функция f определена на интервале (а, b ) и не убывает, то в каждой точке х, а < х < b, она имеет конечный П. как слева, так и справа; в точке в П. справа, который конечен тогда и только тогда, когда функция f ограничена снизу, а в точке b П. слева, конечный в том и только в том случае, когда функция ограничена сверху. В общем же случае стремление к П. может носить разный, необязательно монотонный характер. Например, функция f (x ) = x

Т. н. внутренний критерий (критерий Коши) существования П. функции в точке состоит в следующем: функция f имеет в точке x П. в том и только в том случае, если для любого e > 0 существует такое d > 0, что для всех точек х' и х'', удовлетворяющих условию &frac12;х’ - x &frac12; < d, &frac12;x'' — x &frac12; < d, x' &sup1; x , x'’ &sup1; x , выполняется неравенство &frac12;f (x'' ) — f (x' )&frac12; < e.

Для функций, как и для последовательностей, определяются понятия бесконечных П. вида

х , При х ® х + 0 или При х ® +yen соответственно и т.д. Например,

означает, что для любого e > 0 существует такое d > 0, что для всех х, удовлетворяющих условию х < -d, выполняется неравенство f (x ) > e.

Расширение понятия предела функции . Если функция f определена на некотором множестве Е числовой прямой и точка x