Чтение онлайн

Далее логично перейти к анализу диалектики в физике как самой фундаментальной отрасли современного естествознания. Так как физические законы образуют естественный базис для действия химических закономерностей, то далее следует рассмотреть диалектику в химии. Знание физико-химических закономерностей дает ключ для понимания космических процессов. Поэтому анализ диалектики в астрономии должен осуществляться после анализа диалектических процессов в физике и химии.

Важной отраслью астрономии является планетология. В качестве частного случая последней выступает планетология Земли, т. е. геология. Естественно, что анализ диалектики неживой природы должен завершаться анализом диалектики геологических процессов.

Своеобразным переходным звеном от диалектики неживой природы к диалектике живой природы является диалектика в кибернетике, поскольку последняя исследует процессы приема, хранения, преобразования и передачи информации как в неживой, так и в живой природе.

Аналогичный принцип перехода от диалектики одной отрасли знания к диалектике другой наблюдается и в науках о живой природе. Вначале рассматривается диалектика в биологии и генетике, а затем в естественных науках, изучающих человека (антропологии, физиологии высшей нервной деятельности, медицине). Анализ диалектики в этих, последних областях естествознания образует естественную основу для перехода к диалектике общественных процессов — диалектике биологического и социального. Такова внутренняя логика содержания третьего тома «Материалистической диалектики».

Процесс отражения действительности математикой представляет собой яркий пример диалектики познания. Пожалуй, ни в одной другой науке нет столь парадоксального сочетания взаимоисключающих характеристик процесса познания, как в математике, где уживаются рядом интуитивная очевидность и логические доказательства, наглядность и крайняя отвлеченность, независимость от опыта и многообразные практические приложения. Эти особенности математики привлекают к ней пристальное внимание философов, чьи мнения о математике варьируются от признания ее идеалом науки вообще и образцом для подражания (Р. Декарт, Т. Гоббс, И. Кант) до полного отказа признать за нею какое-либо объективное значение (Д. Юм, Л. Виттгенштейн, Б. Рассел) [15] .

Несмотря на большое число различных школ и направлений в современной буржуазной философии математики, в ней отсутствует сколько-нибудь убедительное объяснение процесса математического познания в целом. Абсолютизируя какую-либо одну из особенностей математического знания, они создают тем самым искаженное представление о целом. Лишь с позиций диалектического материализма, руководствуясь марксистско-ленинским пониманием познания как активного, творческого отражения объективного мира человеческим сознанием, можно создать целостное представление о диалектике математического познания во всей ее сложности и противоречивости и тем самым дать математике философское обоснование. Основной вопрос математики тесно связан с основным вопросом философии. Объекты исследования математики составляют определенные отношения в объективном мире, математические построения, которые могут быть очень удаленными от этого мира и создавать видимость независимости первых от второго. Этот мировоззренческий вопрос, разделяющий материализм и идеализм в философии математики, следует отличать от методологической проблемы о предмете математики, заключающейся в определении основного содержания математики как науки, т. е. системы средств, способов и результатов познания ею своего объекта.

Различение объекта и предмета математического познания носит принципиальный характер. Решение проблемы об объекте математики требует ответа на вопрос: является ли математическое знание отражением объективного мира, существующего до, вне и независимо от познающего субъекта, или же оно служит формой самопознания субъекта? Следовательно, вопрос об объекте математического познания представляет собой конкретизацию основного вопроса философии применительно к математике. Определение объекта математики должно быть дано в категориях диалектического материализма. Наоборот, решая вопрос о предмете математики, мы не выходим за пределы диалектики процесса познания, определение предмета математики дается не посредством философских категорий, а с помощью общенаучных или специальных математических понятий [16] .

Объектом математического познания всегда были различные типы единства количественной и качественной определенности, бесконечного и конечного, непрерывного и прерывного, структурного многообразия мира и его элементов. Предмет ее меняется в зависимости от уровня развития самой математики, ее методов познания, развития смежных с математикой наук, общественно-исторической практики. Никакая система понятий, будучи исторически конкретной и вследствие этого неполной и ограниченной системой, не может абсолютно отобразить всего содержания соответствующего свойства объективного мира, хотя в процессе исторического развития науки происходит уточнение и углубление знаний, познаются все более глубокие и существенные черты этого содержания. Следовательно, на каждом данном этапе развития математики ее предмет находится в определенном соответствии с ее объектом, но не совпадает с ним.

Исторически и логически первичными свойствами объективного мира, которые стали изучаться математикой, были различные отношения меры — количественно определенного качества или качественно определенного количества, с которыми люди изначально сталкивались в практической деятельности [17] . Математика начинала с изучения конкретных систем объектов, поэтому «качественная окраска» исследуемых количественных отношений мешала разглядеть изоморфизм отношений различных предметных областей, понять эти отношения как частные проявления некоторой абстрактной и общей структуры. Так, структура группы как математического конструкта в предельно общей форме оставалась скрытой за многими частными законами композиции, свойствами подстановок на множествах, сложением и умножением чисел, преобразованиями векторов в пространстве. В XVII–XIX вв. лишь некоторые выдающиеся мыслители видели в математике не сумму отдельных дисциплин, а общую науку об отношениях [18] . Даже Гегель воспринимал математику как науку о величинах и числах, правда отмечая ее абстрактно-количественный характер как метафизическую ограниченность, свидетельство отрыва количества от качества. «…Математика природы, если она хочет быть достойной имени науки, по существу своему должна быть наукой о мерах» [19] , — подчеркивал он.

Таким образом, предмет математики — это теоретический образ объекта, его абстрактное и идеализированное представление. Со временем в математике все большее значение приобретают исследования, непосредственно направленные на познание не внешнего мира, а на само математическое знание и методы его получения. Происходит как бы переход от «первичного» отражения к «вторичному». Поскольку в этом случае объектом исследования становится само исследование, естественно назвать этот уровень математического познания метаисследованием, а его объект — математическое знание — метаобъектом [20] .

Примером метаисследований являются работы по основаниям математики, но в целом область метаисследований в современной математике гораздо шире и включает в себя значительную часть таких математических исследований, которые не имеют непосредственного соприкосновения с решением каких-либо прикладных задач. Предмет математики в таком случае оказывается частью ее метаобъекта.

Важность метаисследований в математике определяется тем, что «вторичное» отражение по существу есть дополнение и продолжение «первичного» отражения. Исследование знания есть одно из средств изучения того объективного содержания, которое отражено в нем. То же можно сказать и об изучении познавательных процедур. Зная какую-либо познавательную процедуру, можно найти вид знания, которое с ее помощью было получено, и на основании последнего определить объективный аналог этого знания [21] . Однако отметим еще раз, что метаисследование следует рассматривать как вспомогательный вид познания, подчиненный главной задаче — познанию объективного мира.

Метаисследование в таком понимании не только не совпадает, но прямо противоположно тому, что принято называть метаматематикой. Дело в том, что метаисследования относятся к идеальным, абстрактным объектам — понятиям, смыслам, суждениям, в то время как метаматематика имеет дело только с конкретными «объектами» вроде знаков какого-нибудь искусственного языка, значения которых в рамках метаматематического исследования не принимаются во внимание. Формальные системы, «представляющие» тот или иной раздел содержательной математики, изучаются в метаматематике как материальные объекты со структурой, подобно фигурам в геометрии, им можно приписывать только такие свойства и отношения, которые воспринимаются непосредственно. Объект метаматематики — это результат «двойного отрицания» первичного, объективно-реального объекта. Здесь происходит возврат к чувственному созерцанию изучаемых отношений, но уже между не «естественными», а искусственными объектами.

Однако в некоторых работах по философии математики отмечается, что основным объектом математического познания является не реальный объект, а метаобъект или даже «метаметаобъект». Гносеологическим источником этой ошибки является относительная независимость метаобъекта. Известно, что даже наиболее элементарные понятия математики абстрактны по своему содержанию. Поэтому при создании математических теорий приходится учитывать не столько содержательные, сколько формальные, логические, независимые от конкретного содержания отношения между понятиями. Известно, что уже на заре развития математики достоверность выводов определялась не содержательными, а формальными критериями, поскольку математика сама по себе не содержит критериев, позволяющих отличать утверждения, относящиеся к действительности, от утверждений, имеющих только математический смысл. Так, понятие существования в математике значительно отличается от понятия объективно-реального существования [22] .