Чтение онлайн

Эти обстоятельства и способствуют тому, что иногда в сознании некоторых математиков метаобьект получает статус самостоятельного существования, утрачивается представление о его вторичности, зависимости от объекта и субъекта, математические понятия начинают рассматриваться уже не как образ объективной реальности, а как сама эта реальность. В этом случае метаобъект вместо того, чтобы выполнять роль «оптического прибора», позволяющего лучше рассмотреть объект, становится как бы экраном, заслоняющим его от взоров исследователя [23] . Отсюда возникает иллюзия, что метаобъект есть не только главный, но и вообще единственный объект изучения, математика превращается из науки о свойствах объективного мира в науку о математическом знании и способах его получения, что в итоге приводит к субъективно-идеалистической трактовке ее объекта. Это можно проиллюстрировать на нескольких примерах историко-философского рассмотрения этой проблемы.

Так, известно, что Платон настолько абсолютизировал понятия математики, что превращал их в самостоятельные трансцендентные «идеи», вечные идеальные формы, знание о которых душа приобретает во время пребывания в потустороннем мире [24] . В этом случае основные понятия математики оказываются врожденными, не зависящими как от личного, так и от коллективного опыта людей, «открываются», а не «изобретаются». Последователи Платона абсолютизируют относительную независимость математического знания от эмпирического содержания. Объективность содержания понятий истолковывается в том смысле, что и они сами, а не только их прообразы существуют вне и независимо от сознания.

Математическое знание действительно обладает известной независимостью от эмпирического опыта, но эта независимость не абсолютна, она имеет свои границы [25] . Математика не является теорией, выведенной из априорного основания. Хотя ее основные понятия и невыводимы непосредственно из эмпирического опыта, а являются результатом творческой, конструктивной деятельности мышления, но мотивы и цели этой деятельности детерминированы факторами, находящимися в объективном мире.

Для идеалистического рационализма математика была знанием автономным, независимым от эмпирии и в то же время имевшим объективное значение. При этом полагалось, что применимость математики к наукам о природе свидетельствует о гармонии разума и бытия. Новые открытия в математике заставили сторонников рационализма отказаться от первоначальных упрощенных представлений об этой гармонии и искать возможности для установления более сложных ее форм. Когда было обнаружено, что относительно некоторой «математической реальности» можно построить несколько непротиворечивых, но несовместимых теорий, стало ясно, что в данном случае выбор между ними нельзя сделать на основе «разума». Тогда пришли к выводу, что этот вопрос должен решаться в «опыте».

Если в платонизме абсолютизировалась относительная самостоятельность понятийного компонента математического познания, то в кантовской философии математики абсолютизировалась сама «математическая деятельность». Так как «мы a priori, — писал И. Кант, — познаем о вещах лишь то, что вложено в них нами самими», — объекты, познаваемые нами посредством «априорного созерцания», суть продукты нашего собственного воображения [26] . Он считал, что в математике познание происходит путем «конструирования понятий». «…Конструировать понятие — значит показать a priori соответствующее ему созерцание», некоторый наглядный образ. Следовательно, в математическом познании мы рассматриваем не внешнюю реальность (материальную или, как считал Платон, идеальную), а результаты деятельности рассудка и воображения, раскрывающей содержание (эксплицирующей) «чистой интуиции пространства» [27] .

То, что Кант стремился показать единство образного и дискурсивного (понятийного) моментов в математическом познании, подчеркивало важную роль в нем творческой, конструктивной деятельности субъекта, имело положительное значение. Однако при этом он истолковывал неконструктивные компоненты математического знания не как отражение внешнего мира, а как данные a priori, т. е. мистически. Архаичным выглядит и его стремление уложить все многообразное содержание математики в рамки «евклидовой интуиции» пространства, ограниченность которой обнаружилась уже с открытием неевклидовых геометрий. Но это было позже. А тогда, как справедливо заметил М. Бунге, «из всего солидного вклада Канта (в философию математики. — Авт.) его идея чистой интуиции оказалась наименее ценной, но, к сожалению, не наименее влиятельной» [28] .

Действительно, попытка «вывести» математику из чистой интуиции, но уже не пространства, а времени была предпринята интуиционизмом — субъективно-идеалистическим течением современной буржуазной философии математики. Основатель его — Л. Э. П. Брауэр полагал, что в интуиции времени содержатся все элементы, необходимые и достаточные для построения натурального ряда чисел, а следовательно, и всех основных математических теорий. Но поскольку человек обладает интуицией только относительно небольших чисел, то в остальных случаях необходимо опираться не на интуитивную очевидность, а на критерий «конструктивности», согласно которому «реально существующими» в интуиционистской математике признавались только те объекты, которые можно было фактически построить.

В философском плане интуиционизм близок как к позитивизму, так и к более ранним формам субъективного и объективного идеализма: неоплатонизму, картезианству, кантианству. По существу это «математический операционализм». Абсолютизация им значения математической конструктивной (причем именно алгоритмической) деятельности приводит к недооценке объективного содержания математического знания. «С интуиционистской точки зрения математика является изучением определенных функций человеческого разума… она не выражает истину о внешнем мире» [29] , — писал А. Гейтинг.

Платонизм и интуиционизм преувеличивают относительную самостоятельность математического знания, отрывая его либо от объективного мира (интуиционизм), либо от человеческого сознания (платонизм).

В противоположную крайность впадают представители метафизического материализма, выступающие в философии математики под флагом эмпиризма или номинализма. Эмпиризм признает единственным источником знания чувственный опыт, не допускает возможности знания о ненаблюдаемом. Номинализм не признает объективность общего, существование необходимых связей между сходными объектами, принадлежащими к некоторому классу. Следовательно, как эмпирики, так и номиналисты отрицают объективность сущности, поскольку она ненаблюдаема и обладает общим и необходимым характером. На этом основании они отказываются признать объективное содержание общих терминов и принимают их только в качестве «общих имен», подчеркивая тем самым, что они происходят из «ноуменов» (языка), а не из опыта.

Таким образом, если в идеалистической философии математики метаобъект служит единственным предметом изучения для математики, то в эмпиризме и номинализме он отбрасывается как «реальность», исследуемая в математическом познании, которое связывается непосредственно с чувственным опытом [30] . Однако если бы математическое знание было ограничено пределами непосредственно наблюдаемых, чувственно воспринимаемых объектов, их свойств и отношений, то в нем не могли бы содержаться такие математические объекты, которые в опыте вообще не встречаются, да и по своим свойствам не могут реально существовать. Вопреки эмпиризму математика не каталогизирует чувственный опыт, а ставит на место чувственно данного различия объектов многообразие абстрактных объектов, удовлетворяющее не требованиям непосредственной чувственной данности, а логической непротиворечивости и полноты.

«Математические» свойства (за редким исключением) не даны в чувственном опыте и поэтому скорее приписываются вещам, чем обнаруживаются в них [31] . Понятия математики, даже элементарные, как правило, не могут быть получены в результате абстрагирования от конкретно данного; для их создания нужны другие познавательные приемы [32] . К последним относятся прежде всего умозрительное конструирование, создание «конструктов», т. е. понятий, получаемых посредством замещения элементов некоторого структурного образа («гештальта»), заимствованного из имеющегося в наличии эмпирического (научного или обыденного) знания, идеализированными образами («идеалами») каких-либо эмпирических объектов или же их свойств и отношений.