Чтение онлайн

Если в качестве источника «гештальтов» и «идеалов» принимают не эмпирическое знание, отражающее природные объекты, их свойства и отношения, а знание, полученное в результате исследования самого процесса познания и его результатов, выраженных на каком-либо естественном или искусственном языке, то полученные таким образом понятия будут уже не обычными конструктами, а «метаконструктами». В математическом знании имеются как конструкты, так и метаконструкты, поскольку математика занимается исследованием не только объекта, но и метаобъекта. Поскольку в силу общего характера математические понятия способны отображать не только форму объективного содержания, но и форму знания, то в математику входят и «формальные метаконструкты» — понятия, отображающие формальную общность языковых средств (математических, физических, биологических). Математика, таким образом, способна выполнить по отношению к естественнонаучному знанию функции формальной метатеории, подобно тому как теория объективной диалектики способна выполнять роль содержательной метатеории [33] .

«Умозрительное» происхождение математических понятий не означает, что они суть «продукты чистого мышления». При создании конструктов «строительный материал» берется из уже имеющегося знания, но из него создаются новые сочетания, которых не было в наличном знании. Таковы понятия дифференциала и интеграла, мнимые и комплексные числа, бесконечно удаленные точки и прямые в проективной геометрии и т. п. Все понятия создаются людьми. Существенно, однако, то, что в содержании научных понятий определяющая роль принадлежит объективно истинному содержанию, а конструктивный элемент играет подчиненную роль. В содержании же художественных образов это соотношение может быть прямо противоположным.

Представители современного математического эмпиризма рассматривают математику уже не как эмпирическую, а как «метаэмпирическую» науку. Это позволяет существенно расширить круг математических понятий, обосновываемых «эмпирически» в этом смысле слова. Они утверждают, например, что «математика есть наука о формальных методах», т. е. исследует не содержание, а только форму математического знания, законы построения искусственного языка [34] . Но такой подход не позволяет решить вопроса об объективных основаниях математики, так как хотя язык и состоит из материальных элементов, но они созданы людьми и не существуют независимо от них. Современный эмпиризм игнорирует интерпретации формальных систем, т. е. абстрактные объекты.

Такой подход способствует распространению мнения об «информационной пустоте математики», о «конвенциональном характере» ее положений. В русле неоэмпиризма (или формализма) предпринимались попытки формального обоснования математики, которое должно было быть достигнуто без обращения к смысловой стороне математических выражений [35] . Таким образом, «живая» математика здесь подменялась мертвой схемой. Между тем математическому мышлению свойственна диалектика, ему в высшей степени присуща всесторонняя, универсальная гибкость понятий, гибкость, доходящая до тождества противоположностей [36] , проистекающая из связи абстрактного понятийного и конкретно-образного содержания. Искусственные языки с их жестко фиксированной семантикой не в состоянии отразить это богатое содержание. Поэтому формальными средствами нельзя решить проблему обоснования математики. Математическому мышлению недостаточно логики формальной, ему нужна логика диалектическая.

На каждом историческом этапе развития математика, как и любая другая наука, представляет собой определенный конкретный и в известной степени фиксированный способ и результат познания своего объекта. Однако содержание знания об объекте определяется не только им самим, но и особенностями методов познания. Последние же зависят от целого ряда факторов — социальных, экономических, технических, от уровня развития смежных наук, от мировоззрения. Нередко изменение содержания математического знания и способов его получения истолковывается как изменение самого объекта науки. В этом случае объект отождествляется с метаобъектом и оказывается проекцией сложившихся к данному моменту представлений об объекте (как правило, неполных, относительных, ограниченных). «Недостатком такого принципа, — подчеркивает Г. Г. Шляхин, — является подмена реальной действительности ее теоретизированной частью» [37] . Между тем ни в какой момент развития математического познания его объект не исчерпывается имеющимися в наличии знаниями о нем. Абсолютизация познанного, как и абсолютизация еще не познанного, одинаково неприемлемы для диалектического мышления. Обе точки зрения неспособны объяснить процесс непрестанного развития математики, расширения математического знания.

В связи с тем, что на роль основного понятия математики в настоящее время выдвигается понятие структуры, некоторые авторы говорят об изменении не предмета, а объекта математического познания [38] . Этот факт истолковывается иногда также в том смысле, что современная математика исследует уже не количественную определенность материального мира, а его «структурный аспект». Так, И. Г. Федоров пишет: «Единственным объектом современной математики является структурный аспект материи…» [39] Другие авторы, желая сохранить понимание математики как науки о количественных отношениях и вместе с тем как-то учесть роль структуры в современном математическом познании, пытаются расширить содержание философской категории «количество», включив в нее понятие структуры [40] . Количественные связи при этом определяют не как отношения между величинами, а как любые структуры, которые сравнительно независимы от конкретного содержания соотносящихся сторон. Утверждают даже, что «изучаемые математикой отношения всегда являются количественными» [41] . в связи с этим принятое в диалектическом материализме понимание категории количества как единства числа и величины объявляется узким и устаревшим. Между тем в основе концепции, определяющей количество как единство числа и величины, лежит обобщение всего научного и практического опыта людей, и никакого другого научного смысла, на наш взгляд, эта категория не имеет [42] .

Структура как философская категория имеет собственное содержание, в котором признак «безразличия» к природе элементов не является определяющим, о чем часто пишут сторонники «широкого» понимания категории количества [43] .

На тесную связь категории структуры с категорией качества указывают авторы, специально исследовавшие категорию структуры в онтологическом плане. Так, В. И. Свидерский писал: «При анализе того, что является внутренним содержанием качества, легко убедиться, что последним должно выступать определенное единство соответствующих элементов и соответствующей структуры, создающих определенность, специфичность, целостность и устойчивость любого явления» [44] . Качество, будучи единством элементов и структуры, не тождественно ни структуре, ни элементам, взятым порознь. Структуре присущи и количественные и качественные характеристики, что, конечно, не может служить основанием для отождествления структуры с качественной или количественной определенностью. Существуют структуры различных качественных типов. Среди них особый тип представляют собой пространственные отношения.

Математика как наука об отношениях в объективном мире всегда исследовала не некое неопределенное «количество вообще», «чистое количество», а различные виды количественной определенности конкретного качественного типа. Ее объектом являются различные отношения меры, материал для которых математики черпают из природы, дополняя его «умственными конструкциями», предназначенными в конечном счете для раскрытия того содержания, которое заложено в исходных понятиях. Поскольку нет таких качеств, которые не имели бы количественной характеристики, и таких явлений, которые не подчинялись бы закону меры, постольку область применения математических методов к познанию природы принципиально не ограничена. Конечно, применение любого конкретного метода имеет границы. На каждом данном этапе развития научного знания существуют такие его виды, которые не поддаются исследованию средствами математики.

Математическое знание, как и всякое научное знание, глубоко диалектично, однако его диалектическая природа не всегда очевидна. Сам способ представления результатов математического познания, принятый в этой науке, в немалой степени способствовал распространению взгляда на математику как на «формальное», «внешнее» знание, не имеющее объективных оснований.

Пренебрежительное, а подчас и отрицательное отношение Гегеля к математике основывалось на господствовавшем в то время понимании математики как науки о величинах, о количестве вне связи с качеством, а также на отождествлении способа изложения математического содержания с действительным процессом его движения. Процессом доказывания в ней, отмечал Гегель, управляет как будто бы какая-то внешняя самому содержанию сила; исходный пункт доказательства никак не связывается при его выборе с искомым результатом. В процессе доказывания якобы совершенно произвольно принимаются одни и игнорируются другие допущения, причем невозможно установить, в силу какой необходимости все это делается [45] . Высокая оценка математики И. Кантом основана опять-таки на ошибочном понимании им природы математического знания, которое он считал примером «синтетического априорного знания» — единственного вида знания, которое, согласно Канту, сочетает объективную значимость с безусловной достоверностью, обладает общим и необходимым характером [46] .

Характерные для современного позитивизма оценки математики как «информационно пустой», «онтологически нейтральной», «тавтологичной», «чисто вербального знания» также основаны на абсолютизации действительно присущего этой науке момента — неопределенности смыслового (семантического) содержания ряда ее фундаментальных терминов [47] . Между тем законы математики совместимы не с любой онтологической конструкцией. Ведь даже логика содержит некоторые «онтологические обязательства» [48] , т. е. предполагает существование объектов с определенными свойствами.

В еще большей степени это присуще математике. Конечно, известная неопределенность в отношении конкретного вида объектов всегда остается, поскольку математика не различает между «фактическим» положением дел и возможными, но неосуществленными ситуациями. Она отвлекается от того обстоятельства, что возможности, совместимые логически, могут быть несовместимыми «физически», от того, что все возможности вообще не могут осуществиться. Если физика различает реальные и абстрактные возможности, то для математики в области возможного нет качественных градаций.