Чтение онлайн

Равное число элементов обосновывается наличием хотя бы одного отображения по принципу «один-в-один». Помимо него обычно существуют и другие связи, не дающие взаимнооднозначное отображение.

Однако, они во внимание не принимаются, а вывод делается на базе отображения, реализующего полный перебор двух множеств путём сопоставления друг другу только различных их элементов. Конечно же, такая взаимосвязь представляет собой единственную неподвижную точку всех прочих отношений между выбранными множествами.

Для подчеркивания того, что речь идёт именно о данном аспекте, говорят даже не о множествах, а о мощностях, которые объединяют однотипные множества. Как следствие, различные варианты аксиомы выбора различаются по типам мощностей, на которых она действуют.

Аксиома выбора, будучи наиболее общей формулировкой метода сжимающихся отображений, применима и к такому вопросу, как число шагов сходимости метода сжимающихся отображений. В подобной ситуации единственной неподвижной точкой является сходимость за конечное число шагов или конечная мощность.

Данным типом сходимости обладают счётный и конечный варианты аксиомы выбора. Другим мощностям такое также под силу, но далеко не всегда.

Собственно говоря, конечный вариант аксиомы выбора является отдельным её вариантом, надо сказать тривиальным. В крайнем случае, он задаётся путём перебора, но в специфике рассматриваемого подхода его имеет смысл включить в счётный вариант аксиомы выбора как его частный случай.

Счётный вариант аксиомы выбора входит в зону действия ещё одной аксиомы математики, известной как «аксиома детерминированности»12. Она формулируется более сложно, чем аксиома выбора.

Однако, в нестрогой форме для целей изложения настоящей книги можно считать, что аксиома детерминированности гарантирует, что антагонистическая игра двух лиц закончится через конечное число шагов, общее количество которых обычно заранее назвать невозможно. Очень важным достоинством аксиомы детерминированности, в отличие от аксиомы выбора, является её здоровая репутация, проистекающая от отсутствия связанных с ней парадоксов.

Под «антагонистической игрой» понимается такая игра между её участниками, когда ни один из них не желает уступать другому. Данное название, видимо, неудачно, но оно распространено и широко применяется в математике.

Учитывая, что аксиома выбора является алгебраической формулировкой процесса познания, её счётный вариант, точнее, всё то, что ему подчиняется, можно трактовать как квинтэссенцию познания или «информацию». При таком подходе аксиома детерминированности, область действия которой только частично пересекается с зоной работы аксиомы выбора, управляет воплощением на практике накопленных ранее знаний.

Подобное применение не всегда проходит гладко, являясь предпосылкой антагонистической игры двух лиц. Под участниками игры в рассматриваемой специфике нужно понимать решаемые проблемы и накопленный багаж знаний.

Парадоксы аксиомы выбора. Связанные с аксиомой выбора парадоксы требуют краткого освещения. Начнём с того, что по аксиоме выбора любое множество можно вполне упорядочить, сравнивая его элементы.

Однако,«если множество всех вещественных чисел вполне упорядочено, то в любой извлечённой из него последовательности должен существовать первый элемент»13. Но, «при обычном упорядочивании вещественных чисел это требование не выполняется: например, если мы рассмотрим все числа, которые больше, например, 5, то в этом множестве первый элемент отсутствует»14.

Действительно, если кто укажет нам такой элемент, то в качестве контрпримера можно взять его сумму с 5 (пятью), делённую на 2 (два). Поскольку полученное таким образом число будет строго меньше названного, но и строго больше 5 (пяти), то оно своим существованием покажет, что первоначальный пример далёк от истины.

Разумеется, данный факт свидетельствует об отсутствии такого элемента. Имеются и иные аналогичные примеры15.

«Одна из таких теорем известна под названием парадокса Банаха-Тарского. В нестрогой формулировке эта удивительная теорема звучит следующим образом. Пусть даны два шара – один размером с футбольный мяч, а другой – размером с Землю. Оба шара можно разбить на конечное число непересекающихся частей так, что каждая часть одного шара будет конгруэнтна одной, и только одной, части другого шара. Иначе говоря, теорема Банаха-Тарского означает, что, разрезав земной шар на мелкие кусочки и переложив их в другом порядке, мы можем получить футбольный мяч. Ранее, в 1914 г. был получен ещё один парадоксальный результат (составляющий на самом деле частный случай парадокса Банаха-Тарского): было показано, что, разбив шар на четыре части, мы можем переложить эти части так, что получатся два шара того же радиуса, что и исходный шар (парадокс сфер – прим. автора). В отличие от парадоксов, с которыми столкнулась в начале XXв. теория множеств, парадокс Банаха-Тарского и его ранее известный частный случай не являются противоречиями. Это логические следствия из аксиом теории множеств и аксиомы выбора»

Однако, все связанные с аксиомой выбора парадоксы обладают тем свойством, что используемые для их демонстрации конструкции, хотя и могут быть описаны, но не могут быть реализованы. Иначе говоря, они являются фантомами, и данное обстоятельство, как выяснится ниже, вовсе не случайно.

В результате, гарантируемый аксиомой выбора процесс извлечения в отношении их уже таковым не является. Продемонстрируем данное обстоятельство на описанном выше примере минимального числа, строго большего 5 (пяти).

Прежде всего, оно является иррациональным числом, тогда как в процессе познания и в любой прикладной работе практически используются только рациональные числа, поскольку только они и могут быть реально сконструированы. Подобное происходит даже того, когда они применяются в качестве приближения иррациональных чисел.

Множество рациональных чисел, с точки зрения своей структуры, представляет собой редкое сито16. Собственно говоря, для его плотного заполнения и вводятся иррациональные числа, для которых рациональные числа оказываются единственной неподвижной точкой.

Структуры множеств и ослабление аксиомы выбора. В математике принято получать множества, начиная от пустого множества, путём усложнения их структуры на базе уже имеющихся множеств. Единственной неподвижной точкой такого подхода является констатация того факта, что базовые или самые простые множества большей мощности получаются как множества всех подмножеств наиболее сложного варианта множеств предыдущей мощности.

Исключения из сформулированного правила представляют конечные множества. Конечно же, подобное их положение объясняется тем, что конечные варианты аксиомы выбора являются частными случаями её счётной реализации.