Чтение онлайн

Парадоксы изобилуют в логике, математике и физике, и найдется тип на любой вкус и интерес.

Несколько логических парадоксов

Старый парадокс, над которым размышляли философы с середины IV века до н. э. и который обсуждается до сих пор, — это парадокс лжеца. Его древнейшее приписывание — Евбулиду Милетскому, который спросил: «Человек говорит, что он лжет; истинно или ложно то, что он говорит?» Как бы ни анализировать это предложение, возникает противоречие. Тот же парадокс встречается в Новом Завете. Св. Павел в своем послании к Титу, первому епископу Крита, писал: «Один из них самих, даже пророк их собственный, сказал: критяне всегда лжецы». Неясно, осознавал ли Павел проблему в своем предложении, но когда допускается самореференция, парадокс почти неизбежен.

Одним из важнейших инструментов рассуждения, которыми мы обладаем, является сорит. На языке логиков сорит — это цепь связанных силлогизмов: предикат одного утверждения становится субъектом следующего утверждения. Приведенные ниже утверждения образуют типичный пример сорита:

все вороны — птицы;

все птицы — животные;

всем животным для выживания нужна вода.

Следуя по цепочке, мы должны логически заключить: всем воронам для выживания нужна вода.

Сориты важны, потому что они позволяют нам делать выводы, не охватывая все возможные случаи в эксперименте. В приведенном выше примере нам не нужно лишать ворон воды, чтобы знать, что это приведет к их смерти от жажды. Но иногда вывод сорита может быть абсурдным: мы имеем парадокс сорита. Например, если мы согласны с тем, что добавление одной песчинки к другой песчинке не создает кучу песка, и учитывая, что одна песчинка сама по себе не составляет кучу, то мы должны заключить, что никакое количество песка не может создать кучу. И все же мы видим кучи песка. Источник таких парадоксов лежит в намеренной неопределенности[9] таких слов, как «куча». Другой парадокс — парадокс Тесея — основывается на неопределенности слова «тот же самый»: если вы восстанавливаете деревянный корабль, заменяя каждую доску, является ли он тем же самым кораблем? Политики, конечно, регулярно пользуются этими языковыми уловками.

Помимо соритов, мы все постоянно используем индукцию — вывод обобщений из конкретных случаев при рассуждении. Например, всякий раз, когда мы видим, как что-то падает, оно падает вниз: используя индукцию, мы предлагаем общий закон, а именно, что когда вещи падают, они всегда падают вниз, а не вверх. Индукция — настолько полезный метод, что все, что ставит его под сомнение, вызывает беспокойство. Рассмотрим парадокс ворона Гемпеля.[10] Предположим, орнитолог после многих лет полевых наблюдений видел сотни черных воронов. Доказательств достаточно, чтобы она предложила гипотезу: «все вороны черные». Это стандартный процесс научной индукции. Каждый раз, когда орнитолог видит черного ворона, это небольшое свидетельство в пользу ее гипотезы. Теперь утверждение «все вороны черные» логически эквивалентно утверждению «все не-черные вещи — не-вороны». Если орнитолог видит кусок белого мела, то это наблюдение является небольшим свидетельством в пользу гипотезы «все не-черные вещи — не-вороны», но, следовательно, это должно быть свидетельством ее утверждения о том, что вороны черные. Почему наблюдение, касающееся мела, должно быть свидетельством гипотезы о птицах? Означает ли это, что орнитологи могут проводить ценную работу, сидя дома перед телевизором, не утруждая себя наблюдением за птицами на природе?

Другой логический парадокс — парадокс неожиданной казни, в котором судья говорит осужденному: «Вас повесят на следующей неделе, но, чтобы избавить вас от душевных мук, день исполнения приговора станет сюрпризом». Заключенный рассуждает, что палач не может ждать до пятницы, чтобы исполнить приказ судьи: такая долгая задержка означает, что все будут знать, что казнь состоится в этот день — казнь не будет сюрпризом. Значит, пятница исключается. Но если пятница исключена, то по той же логике исключается и четверг. То же самое касается среды, вторника и понедельника. Заключенный, с огромным облегчением, приходит к выводу, что приговор не может быть приведен в исполнение. Тем не менее, он совершенно удивлен, когда палач ведет его на виселицу в четверг! Этот аргумент, который также известен под названиями «парадокс неожиданного экзамена» и «парадокс предсказания», породил огромную литературу.[11]

Несколько научных парадоксов

Хотя размышлять о лжецах, воронах и осужденных часто забавно, а иногда и полезно, аргументы, связанные с логическими парадоксами, слишком часто, по крайней мере на мой вкус, сводятся к дискуссии о точном значении и употреблении слов. Такие дискуссии хороши, если вы философ, но, по моему мнению, действительно увлекательные парадоксы можно найти в науке.

Парадокс близнецов, связанный с явлением замедления времени в специальной теории относительности, пожалуй, один из самых известных. Предположим, один близнец остается дома, а другой отправляется к далекой звезде со скоростью, близкой к скорости света. Для оставшегося дома близнеца часы его брата идут медленнее: его близнец стареет медленнее, чем он сам. Хотя это явление противоречит здравому смыслу, это экспериментально подтвержденный факт. Но ведь теория относительности говорит нам, что путешествующий близнец может считать себя находящимся в покое? С его точки зрения, часы земного близнеца идут медленнее; оставшийся дома близнец должен стареть медленнее. Так что же произойдет, когда путешественник вернется? Они не могут оба быть правы. Невозможно, чтобы оба близнеца были моложе друг друга! Разрешение этого парадокса простое: путаница возникает из-за неправильного применения специальной теории относительности. Эти два сценария не взаимозаменяемы, потому что только путешествующий близнец ускоряется до световой скорости, замедляется на полпути своего путешествия и повторяет все это на обратном пути. Все могут согласиться, что оставшийся дома близнец не испытывает такого ускорения. Таким образом, путешественник стареет медленнее, чем земной близнец; он возвращается и находит своего брата постаревшим или даже мертвым. Инопланетный посетитель Земли наблюдал бы то же явление по возвращении на свою родную планету: его оставшиеся дома братья и сестры (если у инопланетян есть братья и сестры) были бы старше или давно умерли. Такое поведение, безусловно, противоречит нашему опыту, но это не парадокс — скорее, печальный факт межзвездных путешествий.[12]

Так называемый парадокс файервола (огненной стены) гораздо моложе парадокса близнецов. Он был впервые предложен в 2012 году,[13] и с тех пор шквал статей пытался разрешить лежащую в его основе загадку. На момент написания никому не удалось потушить файервол; он остается тревожной проблемой для теоретической физики. Парадокс возникает из-за очевидного противоречия между предсказаниями, сделанными тремя фундаментальными теориями физики: квантовой теорией, общей теорией относительности и комплементарностью.

Квантовая теория — наша лучшая теория физических процессов, происходящих в природе. Это вероятностная теория, что означает, что она не предсказывает, что произойдет определенно; скорее, она дает вероятность того, что произойдет какое-то конкретное событие. Таким образом, квантовая теория имеет смысл только в том случае, если вероятности всех различных исходов события в сумме равны 1. Если вы сложите вероятности всех возможных исходов и обнаружите, что результат равен 0,8 или 1,3 или любому значению, кроме 1, — то результат бессмысленен. Отсюда следует, что информация в квантовой теории не может быть потеряна и не может быть клонирована: если бы информация каким-то образом исчезла или могла быть скопирована, то вероятности не суммировались бы до 1, и результат был бы бессмысленным.

Общая теория относительности, наша лучшая теория гравитации, является классической, а не квантовой теорией. Другими словами, она дает определенное предсказание исхода события, а не диапазон вероятностей для различных возможных исходов. Общая теория относительности описывает гравитацию в терминах искривления пространства-времени, и одно из ее предсказаний состоит в том, что когда искривление пространства-времени становится достаточно сильным, может образоваться черная дыра. Черная дыра — это область пространства, где даже сам свет движется недостаточно быстро, чтобы вырваться из тисков гравитации. Черную дыру окружает горизонт событий, «поверхность невозврата». Если вы находитесь вне горизонта событий, то всегда возможно, хотя бы в принципе, покинуть окрестности черной дыры; однако, если вы пересечете горизонт событий, любая попытка покинуть черную дыру неизбежно закончится неудачей. Важно отметить, что согласно общей теории относительности вы не заметите ничего особенного при пересечении горизонта событий; нет знака, отмечающего границу в пространстве, за которой лежит черная дыра. Обычная аналогия — гребная лодка на реке с все более быстрым течением, которое завершается водосливом. Река содержит точку невозврата, за которой мускульная сила любого гребца не сможет преодолеть течение. Если лодка пройдет точку невозврата, ее судьба решена: она будет унесена через водослив. Но ничто в реке не отмечает эту точку невозврата, и лодка может спокойно проплыть мимо этой точки, не заметив никаких изменений. То же самое и с горизонтом событий, окружающим черную дыру.

В середине 1970-х Стивен Хокинг представил физике информационный парадокс черной дыры. Хокинг показал, что черные дыры на самом деле излучают: квантовые эффекты вблизи поверхности горизонта событий означают, что частицы могут покинуть окрестности горизонта. Черные дыры испускают так называемое излучение Хокинга, и это излучение несет с собой информацию и энергию. Этот эффект приводит к тому, что черная дыра теряет энергию, что, в свою очередь, означает, что она сжимается. В конце концов, черная дыра испаряется. Вопрос в том, что происходит с информацией, которая находилась внутри черной дыры? Если информация уносится излучением Хокинга, то информация должна была быть клонирована: информация не могла вырваться из-за горизонта событий. Но наличие двух копий информации нарушает квантовую теорию, потому что это означало бы, что вероятности не суммируются до единицы. Так, может быть, информация исчезает, когда черная дыра испаряется? Но исчезновение информации нарушает квантовую теорию, потому что это означало бы, что вероятности не суммируются до единицы. Мы имеем парадокс: квантовая теория и общая теория относительности, по-видимому, дают противоречивые описания того, что происходит с любой информацией, которая может упасть в черную дыру.

В начале 1990-х Леонард Сасскинд и его коллеги предложили нечто под названием комплементарность в качестве решения информационного парадокса черной дыры. Идея Сасскинда заключалась в том, что в некотором смысле проблема заключается в перспективе: наблюдатели внутри и снаружи горизонта событий видят разные вещи. Наблюдатель вне черной дыры видит, как информация собирается на горизонте событий, а затем в конечном итоге покидает черную дыру в виде излучения Хокинга. Наблюдатель внутри черной дыры видит информацию как находящуюся внутри горизонта событий. Поскольку два наблюдателя не могут общаться, парадокс избегается. Предложение Сасскинда в некотором смысле позволяет информации быть как внутри, так и снаружи горизонта событий таким образом, что это не нарушает требований квантовой теории. Его предложение получило поддержку в 1997 году, когда Хуан Малдасена предложил идею,[14] называемую AdS/CFT соответствием. Идея гласит, что теория струн (которая автоматически содержит гравитацию) эквивалентна квантовой теории без гравитации в пространстве меньшего числа измерений. Статья Малдасены оказала огромное влияние, потому что она позволяет физикам решать проблемы, которые иначе были бы слишком сложными: если проблема неразрешима в одном режиме, просто переключитесь на другой режим, где она может быть разрешима, выполните там работу, а затем вернитесь в исходный режим. Как бы безумно это ни звучало, AdS/CFT соответствие утверждает, что трехмерное внутреннее пространство черной дыры с гравитацией эквивалентно квантовой теории без гравитации, которая находится прямо над двумерной поверхностью горизонта. Множество теоретических работ, основанных на этом соответствии, казалось, подтверждали предложение о комплементарности. Казалось, что информация не теряется, квантовая теория спасена, и информационный парадокс решен.

Однако в 2012 году четыре физика (Ахмед Альмхейри, Дональд Марольф, Джозеф Полчински и Джеймс Салли, известные под общим названием AMPS) обнаружили нечто тревожное, когда попытались описать процесс испарения черной дыры в терминах комплементарности. Согласно их анализу, когда черная дыра прошла примерно половину процесса испарения, она потеряла так много информации через излучение Хокинга, что оставшейся информации на двумерной поверхности горизонта недостаточно для представления трехмерного внутреннего пространства черной дыры с гравитацией. Это проявляется в явлении, которое AMPS назвали файерволом: наблюдатель, падающий в черную дыру, сгорает дотла на поверхности чуть выше горизонта событий. Но этот эффект просто не должен происходить согласно общей теории относительности: ничто в пространстве не должно отмечать «поверхность невозврата». Таким образом, парадокс вернулся, и стал еще хуже, потому что теперь у нас есть три элемента, борющихся за внимание: квантовая теория, общая теория относительности и комплементарность. На момент написания ситуация является запутанной. Ясность в конечном итоге вернется — возможно, с вкладом из отдельной области науки, такой как теория информации — и, разрешив парадокс файервола, мы больше узнаем о некоторых фундаментальных концепциях физики.