Чтение онлайн

Она принимается экспериментировать, вводя различные числа.

— Если я изменю угловой коэффициент вот так… минус один… Мне нужно сделать эту линию прямой.

Линия на экране монитора меняется в зависимости от вводимых чисел.

— Ой, так не получается. У Рене удивленный вид.

— Что ты хочешь сделать? — спрашивает ее Шонфельд.

— Я хочу провести линию, параллельную оси у. Что мне для этого нужно? Кажется, мне нужно что-то изменить вот здесь (она по­казывает на рамку, куда вводится число для оси у). Вот что я поняла: если ты ставить вместо единицы двойку, то график резко меняется. Так, если мне нужно подняться выше, нужно менять дальше.

Это и есть «блаженное заблуждение» Рене. Она установила, что чем выше координата на оси у, тем больше поднимается линия. Из чего она делает вывод: вертикальную линию можно нарисовать, введя достаточно большую координату на этой оси.

— Думаю, двенадцати или тринадцати будет достаточно. А мо­жет быть, даже пятнадцати.

Она хмурится, пытаясь вместе с Шонфельдом разобраться, что к чему. Задает ему вопросы. Он осторожно подталкивает ее в нужном направлении. Она предпринимает одну попытку за другой, пробует один вариант за другим.

В какой-то момент она вводит 20. Линия немного поднимается.

Она вводит 40. Линия поднимается еще выше.

— Тут есть очевидное соотношение. Но никак не могу сооб­разить, что к чему… А если я введу восемьдесят? Если при сорока линия поднялась наполовину, тогда при восьмидесяти она должна подняться точно до оси у. Посмотрим, что у нас выйдет.

Она вводит 80. Линия поднимается еще выше, но все еще не вертикальна.

— А-а-а, это бесконечность, да? Линия никогда не будет совпа­дать с осью.

Рене близко подошла к решению. Но затем вновь возвращается к изначальному заблуждению:

— Так что же мне нужно сделать? Ввести сто? Каждый раз, когда число удваивается, линия приближается к оси наполовину. Но так и не доходит до нее. — Она вводит 100. — Уже ближе. Но все равно не совпадает.

Рене начинает думать вслух. Очевидно, ответ вот-вот будет най­ден.

— Ага, я так и знала… но… я знала. Больше число, выше линия. Только никак не могу понять, почему…

Она умолкает, глядя на экран монитора.

— Совсем запуталась. Одна десятая расстояния до единицы. Но я не хочу, чтобы…

И тут ее осеняет.

— Ага! Любое число, поделенное на нуль! — Ее лицо светится от радости. — Вертикальная линия есть любое число, поделенное на нуль, а это неопределенное число. О-о-о! Ладно. Теперь все ясно. Угловой коэффициент вертикальной линии нельзя определить. А-а-а! Теперь в этом есть смысл. Никогда этого не забуду!

6

За годы своей работы Шонфельд записал на видео многих сту­дентов, пытающихся решить те или иные математические задачи. Но запись с Рене — одна из его любимых, поскольку она идеально иллюстрирует то, что он считает ключом к изучению математики. От начала эксперимента до фразы «А-а-а, теперь в этом есть смысл» прошло двадцать две минуты. Это много. «Это задача для восьмого класса, — говорит Шонфельд. — Но если я посажу на место Рене обычного восьмиклассника, уверен, после нескольких попыток он скажет: "Я не понимаю", "Объясните мне"».

Однажды Шонфельд спросил у учеников средней школы, как бы­стро они сдаются, решая какую-либо задачу, если она не выходит с первого раза. Ответы варьировались от тридцати секунд до пяти ми­нут, средняя продолжительность попыток равнялась двум минутам.

Однако Рене не отступалась. Она экспериментировала, снова и снова перебирая разные варианты. Размышляла вслух. Не бросала дело на полпути. Не сдавалась. На каком-то подсознательном уровне она чувствовала, что с ее «теорией» рисования вертикальной линии не все гладко, и не останавливалась до тех пор, пока не уверилась в своей правоте.

Рене не имела врожденных способностей к математике. Аб­страктные понятия вроде «угловой коэффициент» и «неопределен­ный» давались ей с трудом. Именно поэтому Шонфельд считает ее пример наиболее впечатляющим.

«Ею движет желание разобраться, — говорит он. — Она не из тех, кто довольствуется поверхностным "да, вы правы" и успокаи­вается. И это очень необычно. — Он отматывает кассету назад и показывает на Рене, с искренним удивлением вглядывающуюся в экран монитора. — Смотрите, как она внимательно изучает график. Многие студенты ограничились бы беглым просмотром. Она же размышляет: "Это не согласуется с моими представлениями. Я не понимаю. Это важно. Я хочу вникнуть". И когда она наконец на­ходит объяснение, то говорит: "Да, теперь все сходится"».

В Беркли Шонфельд ведет курс по решению задач, в ходе ко­торого он, по его собственному утверждению, старается отучить студентов от математических привычек, усвоенных в школе. «Я вы­бираю задачу, ответ на которую мне неизвестен, — поясняет он, — и предупреждаю студентов: через две недели вам предстоит показать решение. Ваши привычки мне хорошо знакомы. Первую неделю вы будете валять дурака и приметесь за работу только на второй не­деле. Так что хочу вас предупредить. За одну неделю с заданием вам не справиться. Начав с середины отведенного срока, вы не успеете, придете ко мне и скажете: "Это невозможно". Советую начинать работать сразу же, и к началу второй недели вы увидите, что зна­чительно продвинулись вперед».

Зачастую мы считаем математический талант врожденной спо­собностью. Он либо есть, либо нет. Но для Шонфельда этот талант связан не столько со способностями, сколько с отношением. Мате­матику осваивает тот, кто не боится пробовать. Этому Шонфельд И пытается научить своих студентов. Успех складывается из на­стойчивости, упорства и готовности на протяжении 22 минут раз­бираться с задачей, которую большинство людей бросили бы после 30 секунд. Посадите в классе целую группу из одних Рене, дайте им возможность и время самостоятельно изучать математику — и результаты будут ошеломляющими. А представьте страну, где упорство, свойственное Рене, является не исключением, а культур­ной характеристикой, укоренившейся так же глубоко, как культура чести на плато Камберленд. Жители этой страны наверняка про­являют способности к математике.

7

Каждые четыре года международная группа работников образо­вания проводит всесторонние тесты по математике и естествен­ным наукам, в которых принимают участие ученики начальных и средних школ по всему миру. Эти тесты называются TIMMS (Тен­денции в международном математическом и естественно-научном образовании), их цель — сравнить академические достижения раз­ных стран.

При сдаче тестов TIMMS ученикам предлагается заполнить анкету, содержащую самые разнообразные вопросы: об их от­ношении к математике, об уровне образования их родителей, о друзьях и т.д. Эта анкета, включающая 120 пунктов, настолько скучна и подробна, что очень часто 10-20 вопросов остаются без ответа.