Чтение онлайн

(18) Если эти две фразы и имеют смысл, то они не имеют ничего общего с геометрией.

(19) Компактность — это важное техническое понятие в топологии, которое не так просто объяснить. Скажем лишь то, что к девятнадцатому веку математики (Коши, Вейерштрасс и другие) поставили математический анализ на прочное основание, придав точный смысл понятию предела. Вначале эти пределы использовались для последовательностей действительных чисел. Постепенно стало понятно, что это понятие надо распространить на пространства функций (например, для того, чтобы изучать дифференциальные или интегральные уравнения). Топология своим рождением (а родилась она к 1900 году) частично обязана этим исследованиям. Среди топологических пространств можно выделить компактные пространства, которыми являются те (мы несколько упрощаем, ограничиваясь метрическими пространствами), в которых каждая последовательность элементов допускает существование последовательности более низкого порядка, обладающей пределом. Другое определение (эквивалентность которого первому можно доказать) покоится на свойствах пересечения бесконечных собраний закрытых множеств. В частном случае подмножеств евклидовых пространств конечных измерений множество является компактным, если и только если оно закрыто и ограничено.

(20) В этой фразе Лакан дает неправильное определение открытого множества и совершенно лишенное смысла «определение» предела. Но это лишь небольшие неточности по сравнению с общей путаницей в его речи.

(21) Этот абзац — чистое педантство: очевидно, если множество конечно, его можно в принципе «посчитать» и «упорядочить». Все споры в математике о счетном (см. ниже сноску 32) или о возможности упорядочения множеств относятся к бесконечным множествам.

(22) Насколько мы знаем, этот семинар был опубликован лишь в английском переводе. Мы сделали обратный перевод на французский.

(23) Действительное число называется «иррациональным», если оно не рационально, то есть если оно не может быть выражено в качестве отношения двух целых чисел: таковы, к примеру, квадратный корень из двух или p. (Очевидно, что нуль является целым числом, то есть по необходимости рациональным). «Мнимые» же числа вводятся для решения уравнений, включающих полиномы, которые не имеют решения среди действительных чисел: например, x2 + 1 = 0, одно решение которого может быть записано как i = √-1, а другое как — i.

(24) Истолкование «алгоритма» Лакана, почти такое же смешное, как и у него самого, см. в Нанси и Лаку-Лабарт (1990, часть I, гл. 2).

(25) Последняя фраза, возможно, является намеком, впрочем достаточно туманным, на технический метод, используемый в математической логике для определения натуральных чисел (1, 2, 3…) в терминах множеств: 1 отождествляется с пустым множеством ∅ (то есть с множеством, не имеющим ни одного элемента); затем 2 отождествляется с множеством [∅] (то есть с множеством, имеющим в качестве единственного элемента множество ∅); затем 3 отождествляется с множеством [∅, [∅]], (то есть множеством, имеющим два элемента — ∅ и [∅]); и так далее.

(26) Парадокс, на который ссылается Лакан, был введен Бертраном Расселом (1872–1970). Отметим сперва, что большинство множеств не содержат сами себя в качестве элементов. Например, множество всех стульев не является стулом, множество всех натуральных чисел не является натуральным числом. Напротив, множество всех абстрактных идей является абстрактной идеей и т. д. Рассмотрим теперь множество всех множеств, которые не содержат самих себя в качестве элементов.

Содержит ли оно само себя? Если ответ — да, то оно не может принадлежать множеству всех множеств, которые не содержат себя в качестве собственных элементов, следовательно, ответ должен быть нет. Но если ответ — нет, тогда оно должно принадлежать множеству всех множеств, которые не содержат себя, значит ответ должен быть да. Чтобы выйти из этого парадокса логики заменили наивное понятие множества различными аксиоматическими теориями.

(27) Это, возможно, намек на другой парадокс, разработка которого принадлежит Георгу Кантору (1845–1918), парадокс несуществования «множества всех множеств».

(28) В математической логике символ х означает «для всякого х», а символ ∃х означает «существует по крайней мере один х такой, что»; они, соответственно, называются «квантором всеобщности» и «квантором существования». Затем Лакан пишет Ах и Ех для обозначения тех же самых понятий.

(29) Лакан ссылается на хорошо известный факт того, что нельзя делить на нуль. Но серьезная проблема заключается в том, что он смешивает пропозицию с функцией. Пропозиция — это декларативная фраза, например, «Жан любит шоколад». Функция же — это некоторое правило, машина, так сказать — преобразующая входные данные (обычно числа) в выходные: например, f(x)=l/x преобразует число в обратную величину. В данном случае Лакан смешивает истинность или ложность пропозиции Ф(х) с осмысленным или бессмысленным характером функции f(x) для некоторого данного значения переменной х. (Мимоходом отметим, что функция 1/х не является экспоненциальной функцией).

(30) Это точно. Черта ` обозначает отрицание («ложно, что») и поэтому применяется лишь к полным пропозициям, а не к отдельным кванторам (Ах или `х). Можно было бы предположить, что Лакан хочет сказать Ех`· Фх` и Ах ` · Фх` — хотя эти формулы были бы логически эквиваленты начальным пропозициям Ах · Фх и Ех · Фх` — но он намекает, что он имел в виду совсем не это банальное переписывание. Каждый волен вводить новые обозначения, но при условии, что он объяснит их значение.

3. Юлия Кристева*

(31) Похоже, это утверждение неявно ссылается на так называемый лингвистический тезис «Сепира-Уорфа», то есть, grosso modo, на идею, будто бы наш язык радикально обуславливает наше мировоззрение. Этот тезис сегодня весьма серьезно критикуется некоторыми лингвистами: см., например, Линкер (1995, с. 57–67).

(32) Что такое мощность континуума? Существует много видов бесконечных множеств. Для начала можно сказать, что существует так называемая «счетная» бесконечность, например, множество целых положительных чисел: 1, 2, 3… Все множества, элементы которых можно поставить в однозначное соответствие с целыми числами, также являются счетными. Георг Кантор, однако, доказал, что не существует однозначного соответствия между целыми числами и действительными. Поэтому последние «более многочисленны», нежели целые. Говорят, что действительные числа обладают «кардинальным числом (или мощностью) континуума», так же, как и все множества, которые можно поставить в однозначное соответствие с ними. Отметим, что можно установить (что, быть может, с первого взгляда кажется удивительным) однозначное соответствие между всеми действительными числами и действительными числами, содержащимися в некотором интервале: например, в интервале чисел, больших нуля и меньших единицы или больших нуля и меньших двух и т. д. В более общем виде можно сказать, что каждое бесконечное множество может быть поставлено в однозначное соответствие с некоторыми из своих подмножеств.

(33) В математике слово «трансфинитный» является приблизительным синонимом «бесконечного» и используется чаще всего для характеристики «кардинального числа» или «ордианального числа».

(34) Это технический результат теории множеств Геделя-Бернайса (одного из вариантов аксиоматической теории множеств). Кристева никак не объясняет, какое значение он может иметь для поэтического языка. Отметим, что предварение этого технически довольно сложного высказывания выражением «как известно» является типичным примером интеллектуального терроризма.

(35) Весьма маловероятно, чтобы Лотреамон (1846–1870) мог «сознательно практиковать» теорему теории множеств Геделя-Бернайса (развитой между 1937 и 1940 годами) или даже просто теорему теории множеств (развиваемой начиная с 1870-х годов Кантором и другими учеными). Кроме того, нельзя «практиковать» теорему, ее можно доказывать или применять.

(36) Гедель в своей знаменитой статье (1931) доказывает две теоремы по поводу неполноты некоторых формальных систем, которые по крайней мере столь же сложны, как система арифметики. Первая теорема предъявляет предложение, которое в данной формальной системе, при условии, что она непротиворечива, оказывается ни доказуемым, ни опровергаемым. Тем не менее, можно при помощи рассуждений, неформализуемых в данной системе, понять, что рассматриваемое предложение истинно. Вторая теорема утверждает, что, если система непротиворечива, невозможно доказать эту непротиворечивость формализуемыми в самой этой системе средствами.

Зато изобрести противоречивые системы аксиом очень просто; а когда система противоречива, всегда существует доказательство этой противоречивости, которое можно провести средствами, формализуемыми в этой системе. Хотя может оказаться, что это доказательство трудно найти, его существование почти тривиально благодаря определению «противоречивости».

Прекрасное введение в теорему Геделя см. в Нагель и др. (1989).

(37) См. выше сноску 27. Необходимо подчеркнуть, что конечные множества — такие, как множество индивидов в обществе — не ставят никаких проблем.