Чтение онлайн

94

Сколь парадоксальным это ни является, есть два примера такого же типа из области математики. За несколько лет до первой мировой войны один математический вопрос, связанный с метафизикой, вызвал в нашей среде оживлённые споры, особенно между мной и одним из моих лучших и наиболее уважаемым друзей, крупным учёным Лебегом. Мы вынуждены были констатировать, что по-разному понимаем очевидность — эту отправную точку уверенности в мышлении всякого рода. Но, естественно, мы не стали презирать друг друга только из-за того, что мы поняли невозможность взаимопонимания.

Второй пример касается теории множеств. Когда в 1879–1884 гг. Георг Кантор опубликовал свои результаты по этой теории (являющейся теперь одной из основ современной науки), один из этих результатов казался настолько парадоксальным и меняющим наши основные понятия, что он вызвал решительную недоброжелательность Кронекера, одного из ведущих математиков того времени. В связи с этим Кронекер даже помешал Кантору получить новый пост в немецких университетах, и ни одно из его произведений не появлялось в немецкой периодике. Нужно ли говорить, что доказательство этого результата является столь ясным и строгим, как и всякое другое математическое доказательство, и не даёт никаких оснований оспаривать его.

95

Ибо, где не хватает понятий, там вовремя словечко вставят. См. «Фауст», ч. 1, пер. Б. Л. Пастернака, где эти строки переданы так:

Бессодержательную речь

Всегда легко в слова облечь.

— Прим. ред.

96

Th. Ribot, "Psychologic de l'Attention", p. 85. Рибо описывает одновременно развитие этой функции слова. Он пишет: «Обучение счёту детей или, ещё лучше, дикарей показывает, как слово, связанное первоначально с предметами, а затем с понятиями, отделяется постепенно от них и становится независимым».

97

"The Science of Thought", vol. 1, p. 97.

98

William James, "A Pluralistic Universe", p. 272.

99

См. H. Delacroix, "Le Langage et la Pensee", p. 381 и далее, и сравнить с замечаниями на стр. 406.

100

См. также Titchener, "Experimental Psychology of the Thought Processes", в особенности лекцию 1 и соответствующие замечания.

101

Тот же вопрос занимает большое место в некоторых психологических исследованиях Варендонка. См. Varendoncq, "Psychology of Day Dreams", особенно ch. II, p.75–86.

102

"Experimental Psychology of the Thought Processes", p. 7 и далее.

103

Вопросы, которых мы здесь слегка коснулись, связаны больше с арифметизацией, чем с теми идеями Гильберта, о которых мы упоминали в главе IV.

104

Тут можно сделать то же заключение, что и по поводу «Основ геометрии» Гильберта. Я дал упрощённое доказательство первой части теоремы Жордана; моё доказательство может быть, естественно, вполне арифметизовано, иначе оно не считалось бы доказательством, но, разыскивая его, я всё время думал о фигуре (всегда представляя её себе в виде весьма извилистой кривой), и так повторяется всегда, когда я думаю об этом доказательстве. Я даже не могу утверждать, что я строго проверил это доказательство или для каждого его звена я проверял возможность его арифметизации (другими словами, арифметизованное доказательство не возникало в моём сознании). Однако ни для меня, ни для какого-либо другого математика, который будет читать доказательство, нет сомнения в том, что каждое его звено может быть арифметизовано; я могу мгновенно дать это доказательство в арифметизованном виде, и это доказывает, что в такой форме доказательство имеется в моём краевом сознании.

105

"Science et Methode", p. 104.

106

H. Poincare, "Valeur de la Science", p. 11.

107

F. Klein, "The Evanston Colloquium", p. 46.

108

"Revue des Deux Mondes", январь — февраль, 1915, p. 657.

109

Из-за таких взглядов на вещи Клейн считал необходимым изменить доказательство одной знаменитой теоремы Эрмита; в одном месте он даже заявляет, что «доказательство не является ещё достаточно простым, в нём видны ещё следы идей Эрмита»; и это привело его к новому изменению. На самом же деле эти «упрощения» являются поверхностными и после них, как и раньше, всё — абсолютно всё существенное — базируется на основной идее Эрмита.

110

Сам Пуанкаре, несмотря на явление озарения, о котором мы говорили, никогда не производил на меня такого впечатления. Когда я читал одну из его крупных работ, у меня складывалось впечатление, что, как она ни замечательна, её уже давно должны были бы сделать (что, очевидно, является заблуждением); в то время как работы Эрмита, вроде той, о которой я говорил, вызывали у меня следующую мысль: «Какие замечательные результаты! Как он мог додуматься до такой вещи!».

Ясно, что такое суждение является в некоторой степени субъективным: вывод, который мне кажется логическим, т. е. соответствующий моему мышлению, и который для меня естественен, может показаться другому интуитивным. Почти все математики должны казаться самим себе логиками. Например, меня спросили, как я мог догадаться использовать для интегрирования уравнений в частных производных приём «главной части расходящегося интеграла»; конечно, если этот приём рассматривать сам по себе, то он может показаться типичным примером «мышления около». Но в действительности мой рассудок долгое время противился такой идее, до тех пор, пока я не был вынужден этого сделать; я пришёл к ней шаг за шагом и читатель-математик легко проверит это, если возьмёт на себя труд посмотреть мои исследования по этому вопросу, особенно мои «Исследования о фундаментальных решениях и по интегрированию линейных уравнений в частных производных», 2-й мемуар, в частности, начиная со стр. 121 (Annales Scientifiques de l'Ecole Normale Superieure, tome XXII, 1905). Я не мог избежать этого метода, как заключённый в поэме Эдгара По «Маятник и колодец» не мог избежать колодца в центре своей камеры.

111

Ошибка, которую, однако, не надо ставить в упрёк Пуанкаре (см. следующее замечание).

112

Неизвестно, сам ли Вейерштрасс начертил эту фигуру или он только описал её словесно, так как он излагал этот метод лишь в своих устных курсах и в течение многих лет метод оставался неизвестным для всех, кроме его учеников.

113

Вообще говоря, как замечают некоторые авторы (см. Meyerson, "Du cheminement de la Pensee", tome 1, цитируется по Henri Delacroix, "L'Invention et la Genie", p. 480), часто существует большая разница между открытием какой-нибудь идеи и её выражением в словах.

114

По форме, но не по существу, фраза в тексте несколько отличается от записи, сделанной Ферма. — Прим. ред.

115

К настоящему времени известно, что соотношение xm + ym = zm неразрешимо в целых числах для m <= 2521. — Прим. ред. [Это было в 1970 году. Через 25 лет появилась работа Эндрю Уайлса, а ещё через пару лет — книга Саймона Сингха. — E.G.A.]