Чтение онлайн

4 Е. Schr"odinger. Ann. d. Phys., 1927, 83, 956.

Основные трудности, стоящие на пути пространственно-временного описания системы взаимодействующих частиц, сразу возникают из неизбежности принципа суперпозиции для описания поведения индивидуальных частиц. Как мы видели, уже для свободной частицы знание энергии и импульса исключает точное знание пространственно-временных координат. Это означает, что непосредственное использование понятия энергии в связи с классическим представлением о потенциальной энергии системы исключается. В волновом уравнении Шредингера этих трудностей можно избежать путём замены классического выражения функции Гамильтона дифференциальным оператором с помощью соотношения

p

=

– 1

h

2

q

 ,

(5)

где p — обобщённая компонента импульса и q — канонически сопряженная переменная. При этом значение энергии со знаком минус рассматривается как величина, сопряженная времени. Таким образом, в волновом уравнении как время и пространство, так энергия и импульс применяются сначала чисто формально.

Символический характер метода Шредингера проявляется не только в том, что простота его так же, как и матричного метода, основана на существенном использовании мнимых арифметических величин. Здесь не может быть речи о непосредственной связи с нашими привычными воззрениями главным образом потому, что «геометрическая» задача, представляемая волновым уравнением, связана с так называемым конфигурационным пространством, число измерений которого равно числу степеней свободы системы и поэтому, вообще говоря, больше числа измерений обычного пространства. Кроме того, шредингеровская формулировка проблемы взаимодействия, так же как и её формулировка в матричной теории, включает в себя пренебрежение конечной скоростью распространения сил, требуемой теорией относительности.

В общем, требование наглядности в отношении пространственно-временной картины в случае проблемы взаимодействия вряд ли можно считать оправданным. Все наши знания о внутренних свойствах атомов получены из опытов по их излучению или столкновениям. В конце концов интерпретация экспериментальных фактов осуществляется с помощью таких абстракций, как излучение в свободном пространстве и свободные материальные частицы. На этих абстракциях покоится, следовательно, всё наше пространственно-временное толкование физических явлений; определение понятий энергии и импульса в конечном счёте также зависит от этих абстракций. При суждении о применимости этих вспомогательных представлений мы должны требовать только их внутренней непротиворечивости, в связи с чем особое внимание должно быть уделено возможности определения и наблюдения.

Собственные решения волнового уравнения Шредингера, как уже отмечалось, дают адекватное представление стационарных состояний атома, допускающих однозначное определение энергии системы с помощью общего квантового соотношения (1). Однако это означает, что при интерпретации наблюдений неизбежен принципиальный отказ от пространственно-временного описания. Как мы увидим, последовательное применение понятия стационарных состояний исключает всякую детализацию в отношении. поведения отдельных частиц в атоме. В проблемах, где описание этого поведения существенно для истолкования наблюдений, мы вынуждены использовать общее решение волнового уравнения, получаемое путём суперпозиции собственных решений. Здесь мы встречаемся с дополнительностью возможностей определения, совершенно аналогичной той, которая рассматривалась ранее в связи со свойствами света и свободных материальных частиц. В то время как определение энергии и импульса объектов связано с понятием элементарной гармонической волны, всякая пространственно-временная детализация описания явлений основывается, как мы видели, на рассмотрении интерференции, происходящей в группе таких элементарных волн. В данном случае согласие возможностей наблюдения с возможностями определения также можно непосредственно показать.

Согласно квантовому постулату всякое наблюдение поведения электрона в атоме будет сопровождаться изменением состояния атома. Как отметил Гейзенберг, это изменение в случае атомов в стационарных состояниях с низким квантовым числом состоит, вообще говоря, в выбрасывании электрона из атома. Следовательно, описание «орбиты» электрона с помощью последовательных наблюдений в таких случаях невозможно. Это связано с тем обстоятельством, что из собственных колебаний с немногими узлами нельзя построить волновой пакет, который хотя бы приближённо представлял «движение» частицы. Однако дополнительная природа описания выражается, в частности, в том, что использование наблюдений над поведением частиц в атоме основано на возможности пренебречь взаимодействием между частицами в процессе наблюдения и, таким образом, считать частицы свободными. Но для этого требуется, чтобы длительность процесса наблюдения была мала по сравнению с естественными периодами атома, что снова влечёт за собой неопределённость в энергии, изменяющейся в процессе, причём эта неопределённость больше, чем разности энергий соседних стационарных состояний.

При суждении о возможностях наблюдения вообще следует помнить, что волновомеханические решения могут получить наглядное истолкование постольку, поскольку их можно описать с помощью понятия свободных частиц. Здесь особенно ярко обнаруживается различие между классической механикой и квантово-теоретической трактовкой проблемы взаимодействия. В классической механике указанное ограничение не является необходимым, поскольку «частица» обладает непосредственной «реальностью» независимо от того, свободна она или связана. Это особенно важно в связи с последовательным применением шредингеровской плотности электрического заряда как меры вероятности нахождения электронов внутри определённой пространственной области в атоме. При упомянутом ограничении такое толкование представляется простым следствием предположения, что вероятность присутствия свободного электрона определяется плотностью электрического заряда, связанного с волновым полем, так же как вероятность наличия светового кванта определяется плотностью энергии излучения.

Как уже упоминалось, способ общего последовательного использования классических понятий в квантовой теории дан в теории преобразований Дирака—Иордана; с помощью этой теории Гейзенберг формулировал свое общее соотношение неопределённостей (4). И в этой теории волновое уравнение Шредингера получило поучительное применение. Собственные решения этого уравнения появляются здесь как вспомогательные функции, которые определяют преобразования матриц с индексами, представляющими значения энергии системы, в другие матрицы, индексами которых являются возможные значения координат частиц. В связи с этим следует упомянуть, что недавно Иордан и Клейн 5 пришли к формулировке проблемы взаимодействия, выраженной волновым уравнением Шредингера; принимая в качестве отправного пункта волновое представление отдельных частиц, они применили символический прием, связанный с глубокой трактовкой проблемы излучения, развитой Дираком на основе матричной теории. К этому мы вернёмся ниже.

5 Р. Jоrdаn, О. Klein. Zs. f. Phys., 1927, 45, 751.

§ 6. Реальность стационарных состояний

В понятии стационарных состояний, как отмечалось выше, мы имеем характерное применение квантового постулата. По самой своей природе это понятие подразумевает полный отказ от описания во времени. С принятой здесь точки зрения именно этот отказ является необходимым условием однозначного определения энергии атома. Больше того, понятие стационарного состояния, строго говоря, требует устранения всякого внешнего взаимодействия с объектами, не относящимися к системе. Приписывая такой замкнутой системе определённое значение энергии, мы непосредственно выражаем требование причинности, содержащееся в законе сохранения энергии. Это обстоятельство оправдывает предположение о немеханической природе устойчивости стационарных состояний, лежащее в основе применения квантового постулата к вопросам строения атомов. Согласно этому предположению, атом до и после внешних воздействий всегда находится в точно определённом стационарном состоянии; это предположение составляет основу применения квантового постулата в проблемах строения атома.

При суждении об известных парадоксах, возникающих при описании процессов излучения и столкновений на основе этого предположения, существенно учитывать выражаемые соотношением (2) ограничения возможностей определения свойств реагирующих свободных объектов. Действительно, если определение энергии реагирующих объектов настолько точно, что можно говорить о сохранении энергии при этой реакции, то согласно этому соотношению реакции необходимо сопоставить промежуток времени, большой по сравнению с периодом, связанным с процессом перехода; этот период согласно соотношениям (1) зависит от разности энергий стационарных состояний. Это следует помнить при рассмотрении процессов, происходящих при прохождении быстро движущихся частиц сквозь атом. Согласно обычной кинематике, эффективное время такого прохождения должно быть очень мало по сравнению с естественными периодами атома, и, по-видимому, невозможно согласовать закон сохранения энергии с предположением об устойчивости стационарных состояний 6. Однако с точки зрения волновых представлений рассматриваемое время реакции непосредственно связано с точностью определения энергии сталкивающейся частицы, и поэтому никогда не может быть противоречия с законом сохранения. В связи с обсуждением парадоксов такого рода Кэмпбелл 7 предложил рассматривать само понятие времени как существенно статистическое по своей природе. С нашей точки зрения, согласно которой основой пространственно-временного описания является абстрактный образ свободных объектов, фундаментальное отличие времени и пространства должно исключаться требованиями теории относительности. Особое положение времени в связи с проблемой стационарных состояний, как мы видели, обусловлено особой природой таких проблем.

6 Ср.: N. Bohr. Zs. f. Phys., 1925, 34, 142 (статья 27, т. I).

7 Campbell. Phil. Mag., 1926, 1, 1106.

Применение понятия стационарных состояний предполагает, что при всяком наблюдении, например с помощью столкновения или реакции излучения, позволяющем различить отдельные стационарные состояния, можно было отвлечься от предшествующей истории атома. Тот факт, что символические методы квантовой теории приписывают каждому стационарному состоянию определённую фазу, значение которой зависит от предшествующей истории атома, на первый взгляд, казалось бы, противоречит самой идее стационарных состояний. Однако, коль скоро мы имеем дело с некоторой временной проблемой, о рассмотрении строго замкнутой системы не может быть речи. Использование простых гармонических собственных колебаний при интерпретации наблюдений означает поэтому только удобную идеализацию, которая при более корректном рассмотрении всегда должна заменяться группой гармонических колебаний, распределённых по некоторому конечному интервалу частот. Тот факт, что группе в целом нельзя приписать фазу в том смысле, как это может быть сделано для каждой элементарной волны, составляющей группу, является, как уже упоминалось, общим следствием принципа суперпозиции.

Такая ненаблюдаемость фазы, известная из теории оптических инструментов, проявляется особенно просто при обсуждении опыта Штерна — Герлаха, столь важного для исследования свойств отдельных атомов. Как отметил Гейзенберг, для разделения атомов с различной ориентацией в магнитном поле необходимо, чтобы отклонение пучка было больше, чем дифракция на щели для волн де Бройля, представляющих поступательное движение этих атомов. Как показывает простой расчёт, это условие означает, что произведение времени, необходимого для прохождения атома через поле, на неопределённость его энергии в поле, обусловленную конечной шириной пучка, должно по крайней мере равняться кванту действия. Гейзенберг считает этот результат подтверждением соотношения (2) взаимных неопределённостей значений энергии и времени. Однако в данном случае мы имеем дело не просто с изменением энергии атома в некоторый заданный момент времени. Так как периоды собственных колебаний атома в поле связаны с его полной энергией общим соотношением (1), мы видим, что указанное условие разделимости означает утрату сведений о фазе. Это обстоятельство устраняет также кажущиеся противоречия, возникающие в некоторых задачах (мысленных опытах) с когерентностью резонансного излучения, которые часто обсуждались и также рассматривались Гейзенбергом.