Избранные научные труды
Шрифт:
P+T
=
1
P
0
+
1
^2
T
0
=
P
0
+
T
0
+
T
0
1-
1
2
.
Мы видим, что общая энергия при новой конфигурации больше, чем при первоначальной. Согласно условию устойчивости § 1, система устойчива при рассмотренном смещении. В этой связи нужно отметить сделанное в части I предположение, что частота испускаемого или поглощаемого системой излучения не может определяться частотами колебаний электронов в плоскости орбит, как это вытекает из расчётов с помощью обычной механики. Напротив, мы предположили, что частота излучения определяется условием h = E, где — частота, h — постоянная Планка, E — разница в энергиях двух различных стационарных состояний системы.
Для исследования устойчивости электронного кольца, вращающегося вокруг ядра, относительно смещений электронов, перпендикулярных к плоскости кольца, рассмотрим расположение системы, при котором электроны смещены соответственно на z1, z2, …, zn, и примем, что электроны под действием внешних сил вращаются по круговым орбитам вокруг оси системы в плоскостях, параллельных первоначальным плоскостям, с теми же радиусами и моментами импульса, как и раньше. Кинетическая энергия при смещении меняется; если пренебречь степенями z1, z2, …, zn выше второй, то прирост потенциальной энергии имеет вид
1
2
e^2
a^3
N
(z)^2
–
1
32
e^2
a^3
cosec^3
(r-s)
n
(z
r
– z
s
)^2
,
где a — радиус кольца, Ne — заряд ядра, n — число электронов. Согласно условию устойчивости § 1, система будет устойчивой при рассматриваемых смещениях, если приведённое выше выражение положительно для произвольных значений z1, z2, …, zn. Простым расчётом можно показать, что последнее требование эквивалентно условию
N > p
n,0
– p
n,m
,
(5)
где m — целое число (меньшее n), для которого
p
n,k
=
1
8
s=n-1
s=1
cos 2k
s
n
cosec^3
s
n
имеем наименьшее значение. Это условие идентично условию равновесия, выведенного на основе рассуждений обычной механики для смещений электронов перпендикулярно плоскости кольца 1.
1 Ср.: J. W. Nicholson. Month. Not. Roy. Astr. Soc., 1912, 72, 52.
Для наглядной иллюстрации представим себе, что рассматриваемые смещения вызваны внешними силами, действующими на электрон параллельно оси кольца. Если смещения происходят бесконечно медленно, то движение электронов в каждое мгновение происходит нормально первоначальной плоскости кольца; момент импульса каждого электрона относительно центра своей круговой орбиты, очевидно, равен первоначальному значению. Прирост потенциальной энергии системы будет равняться работе внешних сил, вызвавших смещения. С помощью таких рассуждений мы приходим к допущению, что в противоположность случаю колебаний в плоскости кольца обычная механика может применяться при расчёте колебаний электронов, перпендикулярных плоскости кольца. Это предположение подтверждается согласием с наблюдениями, выполненными Никольсоном в связи с его теорией о происхождении линий в спектрах солнечной короны и звёздных туманностей (см. часть I, стр. 89 и 104). Кроме того, позже будет показано, что это предположение согласуется и с опытами по дисперсии.
Значения sn и pn,0– pn,m от n = 1 до n = 16 даны в табл. 1.
Таблица 1
n
sn
pn,0– pn,m
n
sn
pn,0– pn,m
1
0
0
9
3,328
13,14
2
0,25
0,25
10
3,863
18,13
3
0,577
0,58
11
4,416
23,60
4
0,957
1,41
12
4,984
30,80
5
1,377
2,43
13
5,565
38,57
6
1,828
4,25
14
6,159
48,38
7
2,305
6,35
15
6,764
58,83
8
2,805
9,56
16
7,379
71,65
Из таблицы видно, что число электронов, которые могут вращаться вокруг ядра с зарядом Ne в одном кольце, очень медленно растет с увеличением N; для N = 20 наибольшее значение n = 10; для N = 40, n = 13; для N = 60, n = 15. Мы видим далее, что рой из n электронов не может вращаться вокруг ядра с зарядом ne в единственном кольце, если только n не меньше 8.
Выше мы предполагали, что электроны движутся под влиянием стационарной радиальной силы и что их орбиты в точности круговые. Первое условие не выполняется, если рассматриваемая система содержит несколько электронных колец, вращающихся с разными частотами. Если же расстояние между кольцами не мало по сравнению с их радиусами, а отношение частот не близко к единице, то отклонение орбиты от круговой очень мало. Тогда движение электронов почти идентично установленному из допущения, что, заряд электронов равномерно распределен по кольцу. Если отношение радиусов колец не близко к единице, то получаемые из этого допущения условия устойчивости можно считать достаточными.
В § 1 мы предположили, что электроны в атоме вращаются в коаксиальных кольцах. Расчёт показывает, что плоскости колец могут разделиться только в случае систем, содержащих большое число электронов; в системах, содержащих ограниченное число электронов, все кольца лежат в одной единственной плоскости, проходящей через ядро. Простоты ради мы будем рассматривать только последние.
Рассмотрим электрический заряд E равномерно распределённый по окружности радиуса a. В точке, расположенной на расстоянии z от плоскости и r от оси кольца, электростатический потенциал задаётся выражением
U
=
1
E
0
d
a^2 + r^2 + z^2 - 2ar cos
.
Если положить z = 0 и r/a = tg^2 и использовать обозначение
K
=
/2
0
d
1 - sin^2 cos^2
,
то для радиальной силы, действующей на электрон в некоторой точке плоскости кольца, получим
e
U
r
=
Ee
r^2
Q
,
где
Q
=
2
sin
4
[
K(2)
– ctg ·
K'(2)
].
Соответствующая сила, перпендикулярная плоскости кольца, на расстоянии r от центра кольца на небольшом расстоянии z от его плоскости будет равна
e
U
r
=
Eez
r^3
R
,
где