Избранные научные труды
Шрифт:
cos 2(t+
)
,
(11)
где — частота периодического движения, а суммирование ведётся по всем положительным целым значениям . Конечно, подобное выражение может быть записано и для компоненты электрического момента атома в этом направлении. В классической теории изменение этого момента во времени определяет характер испущенного излучения. Для столь простой системы, совершающей периодическое движение, её стационарные состояния задаются одним условием, которое можно записать в виде
I = nh,
(12)
где h — постоянная Планка, а n — положительное целое число, так называемое квантовое число. Величина I определяется как
I=
Adt
,
(13)
где интеграл, называемый интегралом действия, берётся по полному периоду движения. Если предположить, что движение подчиняется законам классической механики, то подынтегральная функция A равна удвоенной кинетической энергии движущихся частиц (A = mv^2), тогда как при учёте модификаций, вводимых теорией относительности, A задаётся выражением вида
A=
mv^2
1-
v^2
c^2
– 1/2
.
С учётом последующих обсуждений следует заметить, что это определение I тождественно условию
I =
A
,
(14)
где A означает среднее значение функции A за время движения. В то время как связь между I и полной энергией E для разных систем может принимать весьма разные формы, она всегда будет подчиняться простому дифференциальному соотношению
E = ·I
,
(15)
где E и I означают разности значений E и I для двух механически возможных движений системы, которые весьма мало отличаются друг от друга.
Из соотношений (4) и (15) немедленно видно, что в случае простого гармонического осциллятора с постоянной частотой 0, движение которого описывается формулой (1), равенство (12) эквивалентно известному соотношению Планка
E = nh
0
.
(16)
Можно также легко показать, что в случае атома водорода равенство (12) эквивалентно формуле (8), если в последней подставить значение K, заданное формулой (10). Действительно, замечая, что W = при I = 0, получаем из (7) и (15) после интегрирования
W=
22e2m
I2
(17)
Общие соотношения (12) и (15) позволяют нам далее проследить на более широкой основе формальную асимптотическую связь между движением атомной системы и спектром, получаемым в квантовой теории, рассмотренной в предыдущем разделе для специального случая атома водорода.
Рассмотрим переход между двумя состояниями, для которых значения n в соотношении (12) равны n' и n'' соответственно. Из условия частот (4) мы получаем с помощью (15)
=
1
h
(E'-E'')
=
1
h
n=n'
n=n''
I
.
(18)
Если теперь числа n' и n'' велики по сравнению с их разностью, а следовательно, движения в этих двух состояниях отличаются сравнительно мало друг от друга по частоте и размерам орбит, то мы можем рассматривать со в формуле (18) как приблизительно постоянную величину и, таким образом, также используя (12), получить асимптотическое соотношение
~(n'-n'')
.
(19)
В этом пределе больших квантовых чисел частота испущенного во время перехода излучения будет, следовательно, совпадать асимптотически с частотой одной из гармонических компонент излучения, которое, согласно классической теории, испускалось бы атомом вследствие изменения во времени его электрического момента, а именно с частотой волн, соответствующих гармонической компоненте в разложении (11), у которой = n'-n'' Теперь, конечно, уже не возникает никакого вопроса о постепенном приближении квантовой теории в пределе больших квантовых чисел к классическим идеям о происхождении излучения. Действительно, так же, как и в случае, когда эти числа не велики по сравнению с их разностью, мы предположим в этом пределе, что разные гармонические компоненты излучения, которые испускались бы одновременно в классической теории, будут возникать в совершенно различных процессах перехода между разными парами стационарных состояний. Именно это обстоятельство заставляет нас рассматривать совпадение частот, замеченное в этом пределе, как доказательство общего закона, управляющего появлением переходов между стационарными состояниями.
Этот закон, который был назван «принципом соответствия», устанавливает, что появление каждого перехода между двумя стационарными состояниями, сопровождающегося испусканием излучения, скоррелировано с одной из гармонических компонент, на которые может быть разложен электрический момент атома, рассматриваемый как функция времени, в том отношении, что появление перехода обусловлено наличием «соответствующего» гармонического колебания. Эта корреляция требует, чтобы вероятность появления перехода зависела от амплитуды соответствующего гармонического колебания атома таким образом, чтобы в предельном случае больших квантовых чисел интенсивность испускаемого излучения в единицу времени в среднем была такой же, как и получающаяся из законов классической электродинамики. Подобная связь с классической теорией будет существовать и для поляризации испущенного излучения. Если, например, соответствующее гармоническое колебание во всех состояниях атома описывается линейным колебанием или же вращением по кругу, то излучение будет иметь тот же состав, что и излучение, которое испускалось бы, согласно классической теории, электроном, совершающим гармоническое колебание того же самого типа.
В рассмотренном выше случае некоторой периодической системы принцип соответствия устанавливает, что появление перехода между двумя стационарными состояниями, при котором квантовое число меняется с n' на n'', обусловлено наличием в электрическом моменте атома (n' - n'')-й гармоники. Этот результат позволяет нам пролить свет на заметное отличие между правилами, управляющими появлением переходов между двумя стационарными состояниями в случае планковского осциллятора, с одной стороны, и атома водорода — с другой. В планковской теории теплового излучения так же, как и в классической теории, содержится важное предположение о том, что частота излучения, испускаемого или поглощаемого осциллятором, всегда будет равна характерной частоте колебания. В терминах нашей теории спектров это означает, как видно из сравнения соотношений (4) и (16), что осциллятор может за один этап перейти только между двумя стационарными состояниями, у которых квантовое число n отличается лишь на единицу. С другой стороны, интерпретация водородного спектра с необходимостью требует, чтобы были разрешены переходы между любыми парами стационарных состояний атома водорода. Согласно принципу соответствия, это важное отличие непосредственно учитывается тем фактом, что кеплеровское эллиптическое движение электрона в водородном атоме в отличие от чисто гармонического движения планковского осциллятора обладает полной последовательностью высших гармоник.
Благодаря недавнему продвижению в квантовой теории оказалось возможным установить правила квантования не только для простых периодических систем, но также и для систем, в которых движение носит так называемый многократно-периодический характер. Для таких систем смещение каждой частицы, как и изменение электрического момента, может быть ещё описано в виде суперпозиции гармонических колебаний. В отличие от случая простой периодической системы частоты этих колебаний не являются целыми кратными одной фундаментальной частоты, а представляют собой в случае многократно периодической системы со «степенью периодичности», равной s, линейные комбинации независимых фундаментальных частот и, таким образом, описываются формулой
=
C
1,…,s
cos 2
[
(
1
1
+…+
s
s
)
t+
1,…,s
],
(20)
где 1,…,s — фундаментальные частоты, а суммирование ведётся по всем отрицательным и положительным значениям целых чисел 1,…,s.
В этом случае стационарные состояния будут задаваться квантовыми условиями