Чтение онлайн

Таблица 9.3 демонстрирует данные о выпуске танков «Mark V» по сведениям разведки и расчетам статистиков в сравнении с фактическим производством (сведения из захваченных после войны документов). Сравнение подтверждает эффективность статистического метода, основанного на анализе серийных номеров захваченных машин.

Более того, дать оценку, значительно более точную, чем исходные данные разведки, наверное, можно было по номерам нескольких танков. Рисунок 9.3 показывает, как по случайной выборке предметов с серийными номерами определяют размер всей генеральной совокупности. Следуя указаниям рисунка, рассмотрим пример, когда число трофеев составляет восемь объектов (которыми могут быть товары конкурирующей фирмы, найденные в мусоре страницы ее отчета и т. д.). Самый большой серийный номер — 100 220, а самый маленький — 100 070, так что в результате этапа 1 мы получаем 150. Результат этапа 2 — около 1,0 (в этой точке кривая верхней границы пересекает вертикальную линию для нашего размера выборки — 8). На этапе 3 мы производим простые вычисления (1+1,0) x 150 = 300 и получим значение верхней границы CI. Повторив эти шаги для нижней границы и среднего значения, получаем 90-процентный доверительный интервал 156–300 со средним значением 195 (обратите внимание, что среднее — это не середина диапазона, поскольку распределение асимметрично). Так что статистики могли сделать свои выводы, располагая всего восемью номерами захваченных танков.

Два предостережения: если захвачены машины одной бронетанковой части, ни одна из них не может считаться отобранной случайно, поскольку у них могут быть близкие номера. Однако обычно это сразу видно по самим номерам. Кроме того, когда на самом деле нумерация серии не совсем последовательная (то есть каждый следующий номер присваивался не следующему танку) и какие-то номера пропущены, данный метод требует определенной модификации. Отметим: необходимо, чтобы распределение используемых номеров легко обнаруживалось. Например, если используются только четные номера или номера, отличающиеся друг от друга на пять, то это должно быть очевидным из выборки.

Как это можно применить в бизнесе? «Серийные номера» (то есть последовательные серии) можно найти в современном мире где угодно. Так, компании бесплатно предоставляют конкурентам информацию о своем объеме производства, просто указывая на товарах серийные номера, которые может увидеть любой покупатель. (Однако, чтобы быть случайной, такая выборочная совокупность должна состоять из товаров, купленных в разных магазинах.) Аналогичным образом несколько страниц из выброшенного отчета конкурента или цифр из квитанции могут многое рассказать об остальных страницах отчета или обо всех квитанциях за данный день. Я вовсе не призываю вас копаться в отбросах, но исследование содержимого мусорных контейнеров нередко позволяет решить интересные задачи по измерению.

Определите порог

Обычно мы хотим что-то измерить, так как требуется обосновать какое-то решение. И для всех решений обычно имеется некое пороговое значение: если интересующий нас показатель окажется выше его, то мы примем одно решение, а если ниже, то другое. Но статистические методы в большинстве своем не занимаются выяснением, при каком значении X следует принять то или иное решение. Я хочу познакомить вас с таким статистическим методом, который позволяет не только снизить неопределенность в целом, но и сравнить интересующий показатель с важным пороговым значением.

Предположим, требуется определить средние затраты времени сотрудников на совещания, которые в наш век Интернета могли бы проводиться и дистанционно. Работники не теряли бы время на дорогу, а совещания не срывались бы из-за проблем с транспортом. Чтобы решить, следует ли проводить данное совещание дистанционно, нужно выяснить, что на нем происходит. Если сотрудники, которые и так постоянно общаются друг с другом, обсуждают рутинные вопросы, но ради этого кому-то приходится ехать издалека, то подобное мероприятие, наверное, лучше проводить дистанционно. Начнем с калиброванной оценки времени, необходимого среднему сотруднику на то, чтобы попасть на совещание, которое могло бы проводиться дистанционно (3–15 %). Далее определяем, что если этот показатель превысит 7 %, то инвестировать немалые средства в подобные виртуальные мероприятия стоит. Расчет ожидаемой стоимости полной информации показывает, что необходимо израсходовать не больше 15 000 дол. на исследования по этому вопросу. Согласно нашему правилу определения затрат на проведение измерений, можно потратить на эти цели примерно 1500 дол., так что если в компании тысячи сотрудников, то сплошной опрос всех участников совещаний абсолютно исключен.

Предположим, что мы выбрали 10 человек и после подробного анализа времени, которое они тратят на дорогу и проводившиеся в последнее время совещания, выяснилось, что только один сотрудник расходует менее 7 % своего времени на эти виды деятельности. Какова, с учетом этой информации, вероятность того, что интересующий нас средний показатель действительно меньше 7 % и подобные инвестиции совершенно неоправданны? Ответ на уровне здравого смысла — один к десяти, или 10 %. Но это как раз тот случай, когда здравый смысл совсем не так полезен, как немного математики. На самом деле эта вероятность намного меньше.

Рисунок 9.4 показывает, как можно оценить вероятность того, что медиана генеральной совокупности находится по одну сторону порога при условии, что половина или большинство значений малой выборки — по другую сторону.

Попрактикуйтесь в обращении с рисунком 9.4.

1. Найдите в верхней части диаграммы, где указаны размеры выборок, цифру 10. Проследите, куда ведет сплошная кривая, соединяющая эту цифру с вертикальной осью координат.

2. Найдите в нижней части рисунка, где указано число объектов выборки ниже порогового, цифру 1. Проследите, куда ведет соответствующая этой цифре вертикальная пунктирная линия.

3. Найдите точку пересечения кривой и пунктирной линий.

4. Соответствующий этой точке процентный показатель на вертикальной оси координат (0,6 %) показывает вероятность того, что медиана такой выборки меньше порогового значения.

Данная малая выборка сигнализирует: вероятность того, что среднее значение совокупности окажется ниже порога, заметно меньше 1 %. Хоть эта статистика и кажется контринтуитивной[26], но факт остается фактом: неопределенность положения медианы (или даже среднего значения) генеральной совокупности относительно порога можно снизить очень быстро. Предположим, что мы отобрали из генеральной совокупности всего четыре объекта и ни один из них не оказался ниже порогового. Обратившись снова к рисунку 9.4, мы обнаружим, что вероятность нахождения медианы ниже порога составляет чуть менее 4 %, а вероятность ее положения выше него — соответственно 96 %. То, что выборочная совокупность всего из четырех объектов настолько снижает неопределенность, может показаться удивительным, но несложные расчеты или моделирование методом Монте-Карло это подтверждают.

Обратите внимание, что неопределенность, связанная с порогом, может снижаться гораздо быстрее, чем неопределенность по поводу самого интересного для нас показателя. Бывает, после нескольких выборок остается довольно широкий диапазон, однако когда порог находится за его пределами, неопределенность, связанная с ним, снижается буквально до нуля.

Серьезным ограничением данного подхода является предположение о максимальной неопределенности порогового значения. Метод исходит из допущения, что изначально у нас нет никакой информации о том, по какую сторону порога может находиться медиана генеральной совокупности. Это означает, что придется начинать с 50-процентной вероятности того, что медиана находится по ту или иную сторону порога. Знай мы заранее, что медиана, скорее всего, ниже порога, наша диаграмма, хотя и неточная, все же дала бы полезный результат. Если же вероятность того, что значение медианы ниже порогового будет меньше вероятности ее положения выше порога, то диаграмма завысит вероятность того, что в действительности медиана ниже порога. В нашем примере диапазон 3–15 % указывает на то, что медиана, скорее всего, больше порогового значения 7 %. Диаграмма указывает, что вероятность обратного — 0,6 %, но, обладая информацией о нашем диапазоне, мы можем сказать, что эта вероятность даже меньше.

Если бы, однако, диапазон составлял 1–8 %, то с самого начала было бы понятно, что интересующий нас показатель расположен ниже порогового значения 7 %. В данном случае рисунок 9.4 занижает вероятность того, что этот показатель ниже порога. Попытаемся использовать другой ориентир для уточнения искомой величины. Найдем фактическое среднее значение исходного диапазона и рассчитаем вероятность его нахождения по ту или иную сторону порога. При данном диапазоне можно утверждать, что существует 50-процентная вероятность того, что это значение меньше 4,5 %. Допустим, что из 10 отобранных нами служащих ни у одного затраты времени не оказались меньше 4,5 %. Рисунок 9.4 свидетельсвует: в этой ситуации вероятность того, что истинное значение на самом деле меньше 4,5 %, составляет менее 0,1 %. Хотя эта информация и не дает точных данных о том, насколько маловероятно, что искомое значение меньше 7 %, все же становится очевидно, что этот вариант практически невозможен.

Итак, как правило, если выборочное обследование убедительно подтверждает имевшуюся ранее информацию (например, лишь одно из 10 значений выборки оказывается ниже порога, а вы уже знаете, что медиана вряд ли может быть ниже порога), то неопределенность снижается даже быстрее. Когда же исследование опровергает имевшиеся ранее сведения, для аналогичного снижения неопределенности придется увеличить размер выборки. Не забывайте и о том, что рисунок 9.4 позволяет оценить вероятность того, что медиана (но не среднее значение диапазона) ниже или выше порога. Конечно, вы можете проделать дополнительные расчеты и еще больше снизить неопределенность. Если четыре значения в выборке окажутся намного больше порогового, то это даст вам большую уверенность, чем если бы они едва превысили его.