Чтение онлайн

Кое-какие тонкости: байесовская инверсия для диапазонов

Как уже упоминалось, в основе многих рисунков и таблиц, составленных мной для этой книги, лежит байесовская инверсия. Решая большинство статистических задач и задач по измерению, мы спрашиваем: «Какова вероятность того, что истинное значение данной величины равно X при условии, что я видел то-то и то-то?» Но вообще-то легче ответить на вопрос: «Если истинное значение равно X, то какова вероятность увидеть то, что я видел?» Байесовская инверсия позволяет нам ответить на первый вопрос, ответив сначала на второй. Нередко ответить на последний бывает намного легче.

Сразу хочу предупредить, что далее нам придется коснуться специальных вопросов. Если вы захотите пропустить это описание, то электронную таблицу для байесовской инверсии, составленную в том числе и на основе приводимого ниже примера, вы найдете на вспомогательном веб-сайте: www.howtomeasureanything.com, выбрав связь «Bayesian Inversion» («Байесовская инверсия»). Я постарался сделать это описание как можно проще. Расчеты могут показаться довольно длинными, но я свел их к минимуму, перейдя, где это было возможно, сразу к функциям Excel.

Итак, предположим, что у нас есть магазин автозапчастей и возникла необходимость определить коэффициент удержания покупателей. Мы подозреваем о существовании проблемы с удовлетворенностью потребителей. Калиброванная оценка процента покупателей, которые захотят сделать в нашем магазине еще одну покупку, составляет 75–90 % (доверительный интервал, как обычно, 90-процентный). Конечно, желательно, чтобы этот показатель был как можно выше, но если он не достигнет 80 %, нам придется принять ряд весьма дорогостоящих корректирующих мер. Расчетная стоимость этой информации намного превышает 500 тыс. дол., но мы, естественно, постараемся минимизировать затраты на проведение опросов потребителей, переложив часть их на плечи своих покупателей. Помня о поэтапном определении интересующего нас показателя, выберем сначала всего 20 потребителей и посмотрим, какую информацию удастся получить. Если из этой выборки 14 человек скажут, что придут к нам за покупками еще, то как мы изменим первоначальный диапазон? Помните, что типичные параметрические, небайесовские методы не позволяют учитывать его при расчетах.

Начнем с более простого вопроса: если 90 % покупателей скажут, что вновь придут за запчастями в наш магазин, то сколько человек из 20 сказали бы то же самое? Ответ очевиден — 90 % от 20, или 18 человек. Если бы таких людей было 80 %, то в нашей выборке их оказалось бы 16. Конечно, мы знаем, что совершенно случайно в числе 20 выбранных нами покупателей желающих вернуться в магазин может оказаться 15 или даже 20 человек. Поэтому нужно узнать не только ожидаемый результат, но и вероятность его получения.

Чтобы определить вероятность получения конкретного результата, используем специальное, уже упоминавшееся распределение, которое называется биноминальным. Напомним, что биноминальное распределение позволяет рассчитать вероятность определенного числа «попаданий» при условии проведения определенного числа попыток и того, что в каждой попытке может быть только один результат. Например, при подбрасывании монетки «попаданием» можно назвать выпадение орла, попытками — подбрасывания, а шанс попадания составляет 50 %. Предположим, например, что мы хотим узнать вероятность того, что при 10 подбрасываниях орел выпадет четыре раза при вероятности его выпадения 50 %. Вместо того, чтобы объяснять всю формулу и теорию комбинаторики, я сразу перейду к формуле программы Excel. В Excel мы просто запишем:

=binomdist(число попаданий, число попыток, вероятность попадания, 0).

Взяв числа из нашего примера с подбрасыванием монеты, запишем: binomdist(4, 10, 0,5, 0), и Excel даст нам значение 20,5 % (ноль в конце говорит о том, что нас интересует вероятность только этого конкретного результата. Записав вместо нуля единицу, получим накопленную вероятность, то есть вероятность указанного или меньшего числа попаданий). Данный результат означает, что есть 20,5-процентная вероятность того, что в случае 10-кратного подбрасывания монеты орел выпадет точно четыре раза.

В нашем примере с магазином автозапчастей покупатель, заявивший «да, я еще сюда вернусь», — это попадание, а размер выборки — это число попыток. Используя биноминальное распределение, менеджер может определить вероятность конкретного результата, например вероятность того, что среди 20 выбранных нами покупателей вернутся в магазин только 14, хотя вообще таких людей должно быть 90 %. В Excel мы запишем: =binomdist(14, 20, 0,9, 0), что даст нам 88,7-процентную вероятность 14 попаданий при 20 случайно выбранных покупателях, если бы на самом деле 90 % посетителей сказали, что готовы сделать еще одну покупку. Отсюда мы уже видим, что верхняя граница нашего первоначального диапазона не слишком правдоподобна.

Предположим теперь, что мы рассчитали эту вероятность для генеральной совокупности, в которой доля повторных покупателей составит сначала 75 %, затем 76, 77 и т. д. вплоть до 90 % (таким образом, шаг равен 1 %). Используя некоторые таблицы в программе Excel, мы сможем быстро рассчитать вероятность конкретного результата при данном «истинном» проценте повторных покупателей. Для каждого приращения на 1 % получим вероятность того, что 14 из 20 покупателей ответят утвердительно на вопрос о возвращении за повторной покупкой при данном «истинном» проценте повторных покупателей. Я бы рассчитывал эти вероятности для каждого приращения на 1 %, начиная от 60 % (что с учетом нашего 90-процентного CI маловероятно, но возможно) и заканчивая 100 %. Для каждого приращения проведем расчет на основе теоремы Байеса. Запишем все это вместе в следующем виде:

P(Prop = Х|Попадания = 14/20) = P(Prop = X) x Р(Попадания = 14/20|Prop = X) / Р(Попадания = 14/20),

где

P(Prop = Х|Попадания = 14/20) — вероятность данного процента повторных покупателей в генеральной совокупности (процента X) при условии, что 14 из 20 случайно отобранных объектов являются попаданиями;

P(Prop = X) — вероятность того, что определенный процент покупателей в генеральной совокупности вернется снова (например, X = 90 % генеральной совокупности покупателей, которые действительно сказали, что вернутся снова);

P(Попадания = 14/20|Prop = X) — вероятность 14 попаданий из 20 случайно выбранных объектов при данном проценте (проценте X) повторных покупателей в генеральной совокупности;

P(Попадания = 14/20) — вероятность получения 14 попаданий из 20 попыток при условии, что все возможные проценты повторных покупателей в генеральной совокупности находятся в первоначальном диапазоне.

Мы знаем, как рассчитать Р(Попадания = 14/20|Prop = 90 %) в Excel: [=binomdist(14, 20, 0,9, 1)]. Теперь нам нужно придумать, как рассчитать P(Prop = X) и Р(Попадания = 14/20). Мы можем рассчитать вероятность каждого приращения на 1 % доли повторных покупателей в нашем диапазоне, вернувшись снова к функции =normdist в Excel и используя калиброванную оценку. Например, чтобы получить вероятность того, что 78–79 % наших покупателей окажутся повторными (или, по крайней мере, заявят об этом во время опроса), мы можем записать следующую формулу Excel:

=normdist(0,79, 0,825, 0,0456, 1) — normdist(0,78, 0,825, 0,0456, 1).

Число 0,825 — это среднее значение нашего калиброванного диапазона: (75 % + 90 %)/2; 0,0456 — среднее квадратичное отклонение (как вы помните, в 90-процентном CI 3,29 среднего квадратичного отклонения): (90 % — 75 %)/3,29. Формула normdist дает нам разность между вероятностью получить менее 79 % и вероятностью получить менее 78 %, которая составляет 5,95 %. Мы можем определить это для каждого приращения на 1 % в исходном диапазоне, а затем рассчитать вероятность того, что доля повторных покупателей в генеральной совокупности равна X [то есть P(Prop = X)] для каждого мало-мальски вероятного значения X в нашем диапазоне.