Чтение онлайн

16. Шестнадцатый способъ очень сходенъ съ предыдущимъ и является его предшественникомъ по времени, такъ какъ образовался въ XV вк. Его даетъ ученый арабъ Алькальцади изъ Андалузіи Особенность въ немъ та, что множимое переписывается нсколко разъ и притомъ столько разъ, сколько цифръ во множител. И еще есть особенность: множитель не стоитъ подъ множимымъ, а располагается выше его; кром того, отдльныя произведенія разсяны по разнымъ строкамъ.

Множимое, повидимому, передвигается за тмъ, чтобы не сбиться, какой разрядъ множить на какой. Впрочемъ, выгоды отъ этого передвиженія особенной не представляется.

17. Въ высшей степени искусственная запись встрчается у Баскары, индусскаго автора, жившаго въ XII вк. Это та же ршетка, что и въ 5 способ, но только съ полными цифрами, безъ всякаго пропуска и сокращенія. У итальянцевъ она называлась «gelosia», по образцу фигурныхъ ршетокъ, бывшихъ въ окнахъ средневковыхъ теремовъ.

Множимое 456 мы пишемъ вверху, множителя 97 съ лвой стороны. Каждый разрядъ числа 456 множится на каждый разрядъ 97-ми. Всего образуется 6 отдльныхъ произведеній. Ихъ мы пишемъ полностью по клткамъ, такъ, чтобы всякое произведеніе стояло противъ тхъ разрядовъ, отъ которыхъ оно получилось; напримръ, шестью семь 42, ставимъ это число подъ 6-ю и притомъ въ верхней строк, потому что множитель 7 стоитъ въ этой строк съ лвой ея стороны, 2 помщаемъ въ верхнемъ правомъ углу клтки, а 4 десятка въ нижнемъ лвомъ. Такъ же ведемъ дйствіе и съ остальными разрядами. Чтобы получить отвтъ, стоитъ только сложить числа въ діагональномъ порядк наискось: 2 единицы сносимъ, 5+4+4 = 13 десятковъ, изъ нихъ 3 пишемъ; 8+3+5+5+1 = 22 сотни; 2 пишемъ; тысячъ будетъ 2+6+4+2=14, 4 пишемъ и, наконецъ, десятковъ тысячъ 3+1, всего 4. Искомое произведеніе выразится пятью цифрами: 44232. Способъ этотъ, какъ видно, очень сложный, фигурный и сбивчивый. Надо твердо помнить и хорошо привыкнуть къ тому, какъ чертится ршетка, какъ пишутся производители, гд помщаются отдльныя произведенія, и какъ читается отвтъ; стоитъ только немного не остеречься, забыть, и тогда вс разряды перепутываются, и никакъ нельзя будетъ отличить, гд единицы, гд десятки, и что складывать съ чмъ. Вообще это вовсе не дловой способъ и не школьный, а скоре плодъ математической изобртательности и развлеченіе въ математик, которая въ средніе вка была особенно суха и недоступна, а подобныя выдумки ее оживляли.

18. Арабъ Альнасави (XI в.) училъ умножать еще боле чуждымъ для насъ пріемомъ. Онъ тоже не допускалъ устнаго счета и тоже подписывалъ вс цифры сполна, но сверхъ того и въ сложеніи у него было отличіе, потому что отдльные разряды складывались не въ конц всего дйствія, а постепенно, по мр того, какъ они получались.

Множитель 97 пишется надъ множимымъ 456 такъ, что его высшій разрядъ, 9 десятковъ, стоитъ надъ простыми единицами числа 456. Вычисленіе начинается слва. 4x9 = 36, пишемъ 6 надъ четырьмя, а 3 рядомъ налво; 5x9=45, изъ нихъ 5 пишемъ рядомъ съ 6-ю, а 4 не подписываемъ надъ 6-ю, какъ это длали въ способ треугольника, но прибавляемъ къ 6-ти, будетъ 10, прибавляемъ къ 30, будетъ 40, эти цифры помщаемъ надъ 36-ю. Ведемъ умноженiе дале: 6x9-= 54, изъ этого 4 пишемъ надъ 9-ю, потому что нижнее мсто занято, а 5 прибавляемъ къ 5-ти, получится 10, нуль пишемъ надъ пятью, единицу—надъ нулемъ, именно тмъ нулемъ, который принадлежитъ числу 40. Такимъ-то образомъ сложеніе идетъ рука объ руку съ умноженіемъ, и когда вс умноженія окончатся, то окончится и сложеніе, и отвтъ представится самыми высшими цифрами въ каждомъ вертикальномъ столбц. Какъ видно, Альнасави допускаетъ особенность и въ множимомъ, именно онъ его еще разъ подвигаетъ и не только горизонтально, но такъ, что крайній разрядъ переставляется въ слдующую высшую строчку. Цль перемщенія та, чтобы единицы множимаго всегда приходились подъ тмъ разрядомъ множителя, на какой умножаемъ.

Альнасави заимствовалъ свой пріемъ у индусовъ; индусы же предпочитали устный счетъ письменному, не любили лишнихъ цифръ и. во всякомъ случа, не стали бы вычислять такъ растянуто, какъ это длаетъ Альнасави. У какого же индуса онъ его заимствовалъ? Или онъ самъ его такъ измнилъ? Объяснить это все можно такъ. Индусы вычисляли на песк и сейчасъ же стирали т цифры, которыя имъ не нужны, поэтому имъ было такъ легко передвигать множимое или множителя: они стирали прежнее и писали новое. Поэтому и мелкія сложенія и умноженія они писали только на одну минуту, и если имъ цифра не нужна, они ее сейчасъ за-мняли новой; такъ что, дйствительно, индусы не сбивались въ длинныхъ рядахъ цифръ и не запутывались, тмъ боле, что ихъ работ много помогалъ устный счетъ. Но арабы и Западная Европа переняли способы индусовъ, а примнять ихъ стали чаще всего на доскахъ и на бумаг, гд цифры перетирать совершенно неудобно; отъ этого и получилась масса лишняго письма, сбивчивость и трудность въ вычисленіяхъ. Не скоро поняли европейскіе математики, что не достаточно перенести чужой пріемъ къ себ, но надо еще примнить его къ своимъ условіямъ, и тогда онъ будетъ пригоднымъ и удобнымъ.

19. Во всхъ разобранныхъ нами 18-ти способахъ, какъ они ни сложны и ни разнообразны, существенный ыорядокъ дйствія все время остается тотъ же, везд дается 2 числа, множимое и множитель, и первое число, т.-е. множимое, помножается такъ или иначе на отдльные разряды множителя, сперва на его единиы, потомъ на десятки, сотни и т. д., или же, наооборотъ, раньше на сотни, а потомъ уже на десятки и единицы. Но нтъ ничего легче примнить другой порядокъ: не цлое множимое умножать на отдльные разряды множителя, а отдльные разряды множимаго на цлаго множителя. Такъ училъ индусскій авторъ Брамегупта (въ VII ст. по Р. X.).

Отвтъ у него помщается въ самомъ верху, данныя числа— внизу. Множитель переписывается столько разъ, сколько цифръ во множимомъ. Начинаемъ умножать 4 сотни на 97, получится 388 сотенъ, ихъ пишемъ надъ сотнями. Такъ же поступаемъ съ десятками и единiцами.

20. Самыми старыми первоначальными способами умноженія надо считать т, когда умноженіе замняется сложеніемъ. Умноженіе, конечно, и есть въ существ дла сложеніе, но только сокращенное, благодаря таблиц и вслдствіе равенства слагаемыхъ. Чтобы, на-примръ; умножить 9 на 27, можно бы 9 выписать 27 разъ и потомъ послдовательно складывать: 9 + 9 = 18, 18 + 9 = 27, 27 + 9 = 36 и т. д. до 243-хъ. Но такое сосчитываніе было бы слишкомъ продолжительнымъ, и вотъ здсь является на помощь таблица умноженія, которая значительно сокращаетъ работу; изъ таблицы намъ извстно, что 9 x 2 = 18, а слдовательно 90 x 2 = 180, да 9 x 7 = 63, всего составится 180 + 63 = 243. Такимъ образомъ мы замнили набираніе 27 слагаемыхъ боле простыми дйствіями, именно 2 умноженіями и однимъ сложеніемъ. Не сразу выработала ариметика такой простой и легкій путь, чтобы замнять сложеніе равныхъ слагаемыхъ умноженіемъ. Поэтому на первыхъ ступеняхъ ея развитія, при наглядномъ счет и при выкладкахъ на разныхъ счетныхъ приборахъ, преобладаетъ чистое сложеніе, а умноженіе является только урывками и проблесками. Едва къ концу среднихъ вковъ оно вполн вступило въ свои права.

Приведемъ образецъ вычисленій на римскихъ цифрахъ. Изъ него хорошо видно, насколько сложеніе преобладало надъ умноженіемъ и замняло его. Требуется, положимъ, СХХХХIIIІ умножить на XXX. Тогда дйствіе располагается слдующимъ образомъ:

С · Х = М

С · Х = М

С · Х = М

ХХХХ · XXX = МСС

XXX + XXX + XXX + XXX = СХХ.

Такъ какъ множитель XXX состоитъ изъ X + X + X, то достаточно повторить множимое сперва X разъ, потомъ еще X разъ, и, наконецъ, еще X разъ и полученные отвты сложить. Но когда мы начнемъ повторять X разъ, то множимое, въ свою очередь, разложится на отдльныя слагаемыя: С + X + X + X + X + IIII; и придется намъ каждое слагаемое перваго числа помножать на каждое слагаемое второго.

21. Двадцать первымъ способомъ будетъ такъ называемый „per aschapezza“. Въ перевод съ итальянскаго языка,—способъ чаще другихъ примняли итальянцы,—это значитъ способъ «разложенія». Примръ: 44x26. Для этого 26 разлагаемъ на какія-нибудь легкія cлагаемыя, обыкновенно однозначныя, въ род 3 + 4 + 5 + 6 + 8, и составляемъ пять произведеній: 44 · 3, 44 · 4, 44 · 5, 44 · 6, 44 · 8. Вс ихъ можно легко найти устно, и въ этомъ заключается преимущество подобнаго умноженія. Но иногда, забывая о главномъ условіи удобства, примняли этотъ способъ и тогда, когда онъ не даетъ никакого выигрыша ни во времени, ни въ письм. Хорошимъ примромъ такого теоретическаго пользованія разложеніемъ можетъ служить помщенный въ аріметик Брамегупты (VII в.): 235x288, съ разложеніемъ числа 288 на 9 + 8 + 151 + 120. Очевидно Брамегупта, выбирая такія неудобныя слагаемыя, не только не упростилъ діствія, а скоре усложнилъ и затруднилъ; но онъ, наврное, и не задавался цлью упростить и облегчить вычисленіе, а желалъ только представить новую форму умноженія.

22. Какъ мы уже сказали, замна умноженія сложеніемъ является самымъ легкимъ и простымъ пріемомъ и въ то же время самымъ старымъ и испытаннымъ. Египтяне за много столтій до Р. X. умли съ болышшъ искусствомъ, чрезвычайно свободно и остроумно пользоваться этой замной. Если, напримръ, имъ требовалось умножить на 17, то они сперва складывали множимое само съ собой и получали такимъ образомъ двойное число; его тоже складывали само съ собой, получали четверное число; четверное складывали съ четвернымъ, получали восьмерное; восьмерное съ восьмернымъ, получится 16 ть слагаемыхъ, а такъ какъ ихъ задано набрать 17-ть, то остается добавить только одно слагаемое и отвтъ будетъ найденъ. Подобнымъ же образомъ они могли, напримръ, вычислять 466 .13. Они составляли 466.2 = 932, 932.2 = 1864, 1864.2 = 3728, затмъ складывали восьмерное число съ четвернымъ и съ простымъ и получали 466 .13 = 3728 + 1864 + 466 = 6058. Такимъ путемъ египтяне умли добираться до сложныхъ результатовъ, хотя и медленно, но довольно врно и успшно. Изъ всхъ умноженій у нихъ было только одно удвоеніе; они даже не знали таблицы умноженія. Не они ли пришли къ мыели выдлить удвоеніе въ особое дйствіе, къ мысли, которая примнялась очень долго и едва въ ХУІ столтіи была оставлена, потому что съ этого времени удвоеніе вошло въ составъ вообще умноженія.

Покончимъ теперь на египтянахъ и не будемъ уходить дале въ глубь вковъ, тмъ боле, что у насъ нтъ фактическаго матеріала для этого. Подведемъ итоги всему. что сказали объ умноженіи. Оно начинается съ сложенія равныхъ слагаемыхъ и въ этомъ случа не пользуется никакими особенными правилами, сокращеніями и удобствами. Затмъ, благодаря практик, начинаетъ выдляться удвоеніе и оно образуетъ фундаментъ новаго дйствія—умноженія: по образцу удвоенія легко могли возникнуть другіе подобные разсчеты и удвоеніе натолкнуло на то, чтобы находить тройное число, четверное, десятерное и т. п. Вс эти употребительные случаи, повторяясь часто, привели къ таблиц умноженія и выдлили окончательно дйствіе умноженія изъ массы случаевъ сложенія. Тогда же начинается письменное производство этого дйствія, сначала въ грубой и несовершенной форм, при помощи абака и другихъ похожихъ на него пособій, съ многочисленными стираніями и измненіями цифръ; сложеніе отдльныхъ произведеній сначала шло попутно, вмст съ умноженіемъ разрядовъ, но потомъ его начали относить на самый конецъ и производить тогда, когда уже вс произведенія найдены. Въ старинныхъ способахъ умноженія устный счетъ почти не допускался, и вс цифры, какія надо, писались безъ пропуска, и въ ум ничего не удерживалось: такъ, по крайней мр, было въ Западной Европ въ средніе вка. Ближе къ нашему времени стали примнять и устный счетъ, начали помогать письму тмъ, что нкоторыя цифры удерживали въ ум, и такимъ то образомъ развился и принялъ окончательную отдлку нашъ современный нормальный способъ умноженія.

23. Индусы и Адамъ Ризе, и итальянцы XVI в. часто разлагали множителя на производителей. У итальянцевъ это называлось «per repiego». Чтобы, напр., умножить 15, можно данное число умножить на 5 и полученное вновь умножить на 3. Чтобы умножить на 121, можно умножить на 11 и опять на 11. Еще лучше у Адама Ризе: если ему надо какое-нибудь число взять слагаемымъ 46 разъ, то онъ умножаетъ данное число на 9, полученный результатъ—на 5 и ко всему этому прикладываетъ еще одно, 46 слагаемое. Хорошо бы и намъ пользоваться почаще такими сокращеніями и пріучать къ нимъ своихъ дтей въ училищахъ. Есть, правда, во многихъ школахъ, особенно въ начальныхъ, спеціальныя занятія по устному счету, но, во-первыхъ, очень жаль, что они въ средней школ глохнутъ и не продолжаются, и, во-вторыхъ, они ведутся, обыкновенно, по шаблону и не столько развиваютъ личную сообразительность дтей, сколько пріучаютъ ихъ къ готовымъ формуламъ.