Чтение онлайн

Трудно дленіе нашимъ школьникамъ и въ настоящее время. Но неизмримо, безконечно трудне было оно въ старинныя времена и особенно въ начал среднихъ вковъ. Тогда изъ столкновенія римской и арабской учености не успло еще выработаться сколько-нибудь сносной системы, да кром того, самъ характеръ преподаванія, котораго держались тогда въ монастырскихъ школахъ, былъ сухъ, безсердеченъ, неприноровленъ къ силамъ дтей и требовалъ отъ нихъ нечеловческаго напряженія. Тотъ, кто оказывался въ состояніи понимать дленіе, признавался чуть не геніемъ и ему давали почетный титулъ «доктора абака», въ род нашего «доктора математики» или «доктора медицины». Нормальнымъ, зауряднымъ дтямъ нечего было и мечтать о такомъ трудномъ, мудреномъ дйствіи, и они скромно ограничивались сложеніемъ и вычитаніемъ, съ придачей таблицы умноженія. Вотъ что значило неумнье преподавать, отсутствіе понятныхъ учебниковъ и усложненность вычисленій. Вотъ откуда пошло вредное поврье, будто для математики надо родиться со спеціальными способностями, и что кто не рожденъ атематикомъ, тотъ не будетъ въ ней успвать, несмотря на свое стараніе и на искусство учителя. Смшно теперь слышать, что средневковые педагоги требовали прирожденныхъ способностей для умноженія и дленія: вдь, въ наше время съ ними удачно справляется всякій мальчикъ въ сельской школ и всякая двочка; но курьезъ сохраняется и въ наши дни, когда съ авторитетнымъ видомъ заявляютъ, что для алгебры и геометріи нужны какія-то особыя исключительно математическія способности. Он, конечно, нужны, но лишь въ такой мр, въ какой и для каждаго учебнаго предмета, и виной неуспха слдуетъ признать, обыкновенно, не отсутствіе способностей, а плохое преподаваніе, особенно вначал, когда разрабатываются элементы, основы предмета, и когда зарождается расположеніе къ нему. Стоитъ только вмсто расположенія и пониманія возбудить отвращеніе и непониманіе, и дло пропало, при томъ пропало боле, чмъ въ какомъ бы то ни было другомъ предмет, потому что въ математик все послдующее вытекаетъ изъ предыдушаго, и если только зародышъ слабъ, то и весь организмъ будетъ хилымъ.

Перейдемъ теперь къ способамъ дленія и разберемъ ихъ по порядку.

1) Объясненіе дленія начнемъ съ нашего способа и прежде всего замтимъ, что имя ему было «золотой» способъ за его удобства и «французскій» за то, что французы предпочитали его боле всего. Первые намеки на него мы можемъ видть у Альхваризми, араба, жившаго въ IX в. по Р. X. Въ боле ясной форм онъ встрчается у индуса Баскары (XII в. по Р. X.). Въ нмецкой литератур можно указать на рукопись, найденную въ мюнхенской библіотек и принадлежащую къ XII вку. Въ ней вычисленія располагаются колоннами, при чемъ вверху колоннъ подписано римскими цифрами ихъ значеніе, такъ что въ сущности здсь идетъ вычисленіе на абак. Примръ: 100000:20023 = 4 и ост. 19908.

Порядокъ дйствія, какъ видимъ, такой: подписавши длителя и его высшій разрядъ, помщаемъ подъ нимъ длимое 100000 и задаемся цифрой частнаго; она не будетъ 5, потому что въ длител кром 20000 есть еще другіе разряды, слд. цифра частнаго будетъ 4; такъ какъ 2x4 = 8, а 10 - 8 = 2, то остатокъ посл высшаго разряда длителя, умноженнаго на частное, составитъ 2; дале множимъ на частное десятки длителя, ихъ всего 2, 2x4=8, но чтобы вычесть 8 дес. изъ 20000, надо сперва 20000 замнить черезъ 19900+100 и тогда легко становится отнять 80 отъ 100, остатокъ будетъ 20; наконецъ, 3x4 =12, вычитаемъ 12 изъ 20, получаемъ 8, а всего посл дленія ииемъ въ остатк 19908. Частное пишется въ самомъ низу. Вообще во всемъ этомъ примр мы наблюдаемъ ходъ дйствія такой же, какъ и у насъ, но въ подробностяхъ много особеннаго: не пишется нулей, потому что мста цифръ достаточно указываются надписями надъ колоннами; не по нашему расположены длимое, длитель и частное; умноженіе идетъ съ высшихъ разрядовъ; вычитаніе производится постепенно, разрядъ за разрядомъ, какъ только они образуются.

2) Слдующій разъ мы встрчаемся съ этимъ способомъ уже въ XV—XVI в. А какъ же вычисляли въ промежутк между XII и XVI вв.? Кстати, какъ вычисляли до XII вка, вдь, очевидно, и тогда было дленіе? Конечно, вычисляли, но только не по нашему пріему, а совсмъ по другому, непохожему, который развивался и удерживался вплоть до XIX вка и въ начал его исчез, о немъ рчь будетъ впереди, теперь же приведемъ образецъ нашего дленія, который встрчается у Луки де-Бурго, итальянца. Раздлить требуется 97535376 на 9876, получится въ частномъ 9876. Расположеніе то же, что и у насъ, только длитель и частное пишется вверху; а не сбоку.

3) Въ знаменитомъ труд по ариметик, который у арабовъ считается образцовымъ, классическимъ, и который принадлежитъ Бэгаэддину (1547—1622), встрчается такое расположеніе: (975741: 53= 18410).

Частное пишется въ самомъ верху. Цифры длимаго не сносятся внизъ, но вмсто этого чертятся, для удобства, колонны, чтобы не сбиться въ цифрахъ. Оба разряда длителя, 5 дес. и 3 ед., помножаются отдльно на частное и отдльно же вычитаются. Длитель переписывается столько разъ, скодько разрядовъ въ частномъ. Здсь повторяется опять то же, что мы видли и въ умноженіи, гд множитель переписывался нсколько разъ. Причина опять та же, что и въ умноженіи, и заключается она въ слдующемъ. Способъ Бэгаэддина получилъ начало, очевидно, еще тогда, когда вычисленія шли на абак, покрытомъ пескомъ, и когда, слд., легко было длителя стереть и его же переписать снова, расположивши снова подъ тми разрядамі, которые длятся; съ теченіемъ времени абакъ былъ оставленъ, математики стали пользоваться бумагой, а между тмъ манера переписыванія все еще сохранилась и привела къ большимъ неудобствамъ, къ затрат лишняго труда, къ потер времени и мста. Вотъ что значитъ инерція, не просвтленная лучами разума!

4) Апіанъ въ XVI ст. даетъ такое же расположеніе, какое дали бы и мы, но только онъ подписываетъ числа не разрядъ подъ разрядомъ, а просто крайнюю цифру подъ крайней. Раздлить 97535376 на 9876, получится 9876. Пишется длимое, подъ нимъ длитель, а частное сбоку. a b c

9 7 5 3 5 3 7 6 ( 9 8 7 6

9 8 7 6

8 8 8 8 4

8 6 5 1 3 a

7 9 0 0 8

7 5 0 5 7 b

6 9 1 3 2

5 9 2 5 6 c

5 9 2 5 6

5) Тарталья, изобртательный итальянскій математикъ XVI в., не только учившій по старин, но и отъ себя предлагавшій много оригинальныхъ и удобныхъ пріемовъ, для большей ясности расчленяетъ дйствіе на рядъ отдльныхъ вычисленій, смотря по тому, сколько цифръ въ частномъ.

Вотъ, какъ онъ выполняетъ дленіе 2596860019 на 38784.

Частное 67019, остатокъ 7807. При этомъ Тарталья говоритъ, что хорошо бы передъ дленіемъ заготовлять произведенія длителя на вс однозначныя числа; тогда видне было бъ, какою цифрою задаваться въ частномъ, да и не нужно составлять отдльно произведеній длителя на цифры частнаго, такъ-какъ они ужъ есть, и останется прямо вычитать.

6) Клавіусъ въ XVII ст. вводитъ нашъ знакъ дленія (при помощи угла), но числа при дленіи располагаетъ не по нашему. Примръ: 1902942 : 2978=639.

7) Вендлеръ, нмецкій педагогъ XVII в., употребляетъ почти нашъ пріемъ, съ тою только разницей, что длитель и частное у него ставятся по обимъ сторонамъ длимаго.

Кром того, цифры длимаго не сносятся, а остаются на своемъ прежнемъ мст вверху.

8) Пешекъ въ XVIII ст. вычисляетъ такъ же, какъ и Вендлеръ. Пешекъ даетъ нашему способу названіе французскаго.

9) Баргь въ XVIII ст. пишетъ длителя подъ длимымъ при всякомъ частномъ дленіи, слд. столько разъ, сколько разрядовъ въ частномъ. 66734 : 325= 205 109/325

10) Въ русскихъ математическихъ рукописяхъ XVII столтія встрчаются, какъ и слдовало ожидать, т же самые пріемы, какіе выработала Западная Европа. Они перешли къ намъ черезъ Польшу, такъ какъ именно польская ученость давала пищу русской образованности XVII вка. Чаще всего въ это время встрчается способъ Апіана (см. выше, 4). У Магницкаго, стр. К а оборот представлено дленіе въ такомъ вид.

Здсь длимое 5175 помщено во второй строк, частное справа, длитель 15 переписывается трижды (въ третьей и пятой строкахъ), четвертая и пятая строка отведены частнымъ произведеніямъ, а верхняя—остатку отъ вычитанія. Изъ этого видно, что цифры расположены довольно несистематично и неудобно, такъ что сбиться въ нихъ очень легко. Но, по правилу, «изъ двухъ золъ выбирай менынее», Магницкій очень доволенъ этимъ способомъ и одобряетъ его въ слдующихъ выраженіяхъ: «Мнози убо длятъ перечни сицевымъ образомъ: егда длителемъ емлютъ, изъ числъ длимаго, и написавши за чертою, умножаютъ имъ весь длитель и, подписавши вычитаніемъ, вычитаютъ изъ длимаго. И намъ видится, сицевымъ образомъ есть удобнйше, но тмъ иже слабйшеее разумніе и тщаніе имутъ: зане не толикаго есть домышленія, и остроты». Дале у Магницкаго идетъ способъ, цохожій на Барта (см. выше, 9), и способъ Вендлера (выше, 7). Вліяніе Вендлера вполн замтно въ ариметик Василія Адодурова (1740 г), Румовскаго (1760 г.), Кузнецова (1760 г.). У Загорскаго (1806 г.) является нашъ нормальный способъ во всей чистот.

Подъ именемъ австрійскаго способа разумется такой, который хотя и похожъ на нашъ нормальный, но отличается отъ него большімъ примненіемъ устнаго счета. Австрійскій способъ можно считать шагомъ впередъ сравнительно съ нашимъ способом, въ немъ меньше шісьма и самое дйствіе совершается вслдствіе этого гораздо быстре, правда, есть въ немъ и неудобство: именно, человкъ, мало-мальски невнимательный, легко въ немъ сдлаетъ ошибку и собьется. Для примра возьмемъ 167585 : 365. Первая цифра частнаго будетъ 4; составляемъ произведеніе 365 на 4, начиная съ низшихъ разрядовъ, но не подписываемъ этого произведенія подъ длимымъ, а вычитаемъ каждый разрядъ его, какъ только онъ получится, и пишемъ прямо остатокъ: 4x5=20, слд. въ остатк 5; 4x6=24, да 2, 26, 6 изъ 7=1, слд. въ остатк 1; дале 3x4=12 да 2—14, 14 изъ 16 даетъ въ остатк 2; всего получится посл вычитанія 215; сносимъ слдующую цифру 3 и длимъ новое число 2153 такъ же, какъ и предыдущее, т.-е. одновременно производимъ умноженіе и вычитаніе.

Австрійская метода стала выдвигаться на первый планъ сравнительно недавно, съ средины XIX вка, но зачатки ея простираются вплоть до XVII вка; еще Вендлеръ даетъ образецъ такого сокращеннаго дленія.

Кегель въ XVII ст. даетъ боле грубую форму этого способа, такъ какъ онъ начинаетъ умноженіе съ высшихъ разрядовъ, а не съ низшихъ и ему приходится лишній разъ измнять цифры. Вотъ какъ у него идетъ дленіе 135513 на 21:

Наконецъ, Маурахеръ (XVIII в.) пользуется такимъ расположеніемъ вычисленія: