Курс теоретической астрофизики
Шрифт:
I
d
d
d
dt
.
Обозначим интенсивность выходящего из цилиндра излучения через I+dI. Тогда количество выходящей из цилиндра энергии будет равно
(I
+dI
)
d
d
d
dt
.
Разница между указанными количествами энергии возникает как за счёт поглощения энергии в цилиндре, так и за счёт испускания энергии цилиндром. Количество энергии, поглощаемой в цилиндре, определяется выражением (1.9). Что же касается энергии, испускаемой цилиндром, то она будет дана выражением (1.10), если мы положим в нём dV=d ds. Таким образом, получаем
(I
+dI
)
d
d
d
dt
=
I
d
d
d
dt
–
–
ds
I
d
d
d
dt
+
d
ds
d
d
dt
,
или, после необходимых сокращений,
dI
ds
=-
I
+
.
(1.11)
Это и есть искомое уравнение, определяющее изменение интенсивности излучения при прохождении его через поглощающую и излучающую среду. Оно называется уравнением переноса излучения.
В частном случае, когда в среде происходит поглощение лучистой энергии, но нет испускания (т.е. /=0, а =0), вместо уравнения (1.11) имеем
dI
ds
=-
I
.
(1.12)
Интегрирование этого уравнения даёт
I
(s)
=
I
(0)
exp
–
s
0
(s')
ds'
(1.13)
где I(0) — интенсивность излучения при s=0 (например, интенсивность излучения, входящего в среду).
Безразмерная величина
s
0
(s')
ds'
называется оптическим расстоянием между двумя точками. При прохождении излучением единичного оптического расстояния интенсивность излучения уменьшается в e раз.
В общем случае (т.е. при /=0, и /=0), решая уравнение (1.11) относительно I, получаем
I
(s)
=
I
(0)
exp
–
s
0
(s')
ds'
+
+
s
0
(s')
exp
–
s
s'
(s'')
ds''
ds'
.
(1.14)
Соотношение (1.14) может быть названо уравнением переноса излучения в интегральной форме.
Мы видим, что в общем случае интенсивность излучения состоит из двух частей. Первая часть представляет собой интенсивность первоначального излучения (в точке s=0), ослабленного вследствие поглощения на пути от 0 до s. Вторая часть есть интенсивность излучения, обусловленного испусканием лучистой энергии на пути от 0 до s и соответствующим ослаблением его вследствие поглощения на пути от места испускания s' до рассматриваемого места s.
3. Уравнение лучистого равновесия.
Полученное выше уравнение переноса излучения (1.11) позволяет находить интенсивность излучения I, если известны коэффициент излучения и коэффициент поглощения . Однако обычно в задачах о переносе излучения коэффициент излучения не является заданным, а зависит от количества лучистой энергии, поглощённой в элементарном объёме, т.е. от величин и I. Чтобы найти эту зависимость, надо рассмотреть энергетические процессы, происходящие в элементарном объёме данной среды.
Указанные процессы специфичны для каждой задачи. Мы сейчас рассмотрим энергетические процессы, происходящие в элементарном объёме звёздной фотосферы.
Как уже было сказано во введении к этой главе, в фотосфере нет источников энергии и вырабатываемая внутри звезды энергия переносится через фотосферу лучеиспусканием. Поэтому излучение каждого элементарного объёма фотосферы происходит за счёт поглощаемой им лучистой энергии. Предполагая стационарность фотосферы» мы можем сказать, что каждый элементарный объём фотосферы излучает столько энергии, сколько он поглощает. Такое состояние фотосферы называется состоянием лучистого равновесия.
Разумеется, в состоянии лучистого равновесия находятся лишь фотосферы тех звёзд, которые не претерпевают быстрых изменений с течением времени. Как известно, они составляют огромное большинство звёзд. Именно об этих звёздах и будет идти речь в настоящей главе. Звёзды с быстро меняющимися блеском и спектром (например, новые звёзды) будут рассмотрены позднее (см. гл. VI).
Дадим математическую формулировку условия лучистого равновесия. Для этого найдём количество лучистой энергии, поглощаемое элементарным объёмом, и количество энергии, излучаемое этим объёмом.
Возьмём элементарный объём с площадью основания d и высотой dr. Пусть на этот объём падает излучение интенсивности I внутри телесного угла d в направлении, образующем угол с нормалью к основанию. Количество энергии, падающее на объём в интервале частот от до +d за время dt, будет равно Id cos d d dt. Так как путь, проходимый излучением в объёме, равен dr sec, то из общего количества падающей на объём энергии будет поглощаться в нём доля dr sec. Следовательно, количество поглощённой энергии будет равно
d
dr
dt
I
d
d
.
Чтобы получить полное количество поглощённой объёмом энергии, надо проинтегрировать это выражение по всем частотам и по всем направлениям. В результате находим, что полное количество поглощённой объёмом энергии даётся выражением
d
dr
dt
0
d
I
d
.