Курс теоретической астрофизики
Шрифт:
(1.15)
На основании (1.10) количество энергии, излучаемое объёмом d dr внутри телесного угла d в интервале частот от до +d за время dt, будет равно
d
dr
d
I
dt
.
Так как энергия в непрерывном спектре излучается элементарным объёмом с одинаковой вероятностью во все стороны, то для полного количества энергии, излучаемого этим объёмом, получаем выражение
4
d
dr
dt
0
d
.
(1.16)
Приравнивая друг к другу выражения (1.15) и (1.16), находим
4
0
d
=
0
d
I
d
.
(1.17)
Уравнение (1.17) называется уравнением лучистого равновесия
Уравнение переноса излучения (1.11) и уравнение лучистого равновесия (1.17) принадлежат к числу основных уравнений теории звёздных фотосфер.
4. Геометрическая модель фотосферы.
Уравнение (1.11) представляет собой самую общую форму уравнения переноса излучения. В конкретных случаях вид уравнения переноса излучения определяется принятой системой координат, а также тем, от каких аргументов зависит интенсивность излучения.
Мы можем считать, что звезда обладает сферической симметрией. В этом случае интенсивность излучения I зависит от двух аргументов: от расстояния r от центра звезды и от угла между направлением излучения и направлением радиуса-вектора. В данном случае мы имеем:
dI
ds
=
I
r
dr
ds
+
I
d
ds
(1.18)
и
dr
ds
=
cos
,
d
ds
=-
sin
r
.
(1.19)
Поэтому уравнение переноса излучения в случае сферически-симметричной фотосферы принимает вид
cos
I
r
–
sin
r
I
=-
I
+
.
(1.20)
В рассматриваемом случае уравнение лучистого равновесия (1.17) может быть заменено другим, более простым уравнением, имеющим тот же физический смысл. Проинтегрировав уравнение (1.20) по всем частотам и по всем направлениям, получаем
1
r^2
d
dr
r^2
0
H
d
=-
0
d
I
d
+
4
0
d
.
(1.21)
Из (1.21) видно, что если выполняется уравнение (1.17), то должно выполняться и уравнение
d
dr
r^2
0
H
d
=
0.
(1.22)
Из (1.22) следует
0
H
d
=
C
r^2
,
где C — некоторая постоянная, определяемая источниками энергии звезды.
Таким образом, полный поток излучения (т.е. поток излучения, проинтегрированный по всему спектру) в сферически-симметричной фотосфере обратно пропорционален квадрату расстояния от центра звезды. Соотношение (1.23), как и уравнение (1.17), является следствием отсутствия источников и стоков энергии в фотосфере.
Как уже говорилось, почти все звёзды обладают фотосферами, толщина которых очень мала по сравнению с радиусом звезды. Для этих звёзд уравнения (1.20) и (1.23) могут быть сильно упрощены. Этого нельзя сделать лишь для звёзд особых типов (например, для звёзд типа Вольфа — Райе).
Рис. 2
Если толщина фотосферы гораздо меньше радиуса звезды, то фотосферные слои могут считаться не сферическими, а плоскопараллельными (рис. 2). В этом случае угол не меняется вдоль луча и вместо уравнения (1.20) получаем
cos
dI
dr
=-
I
+
.
(1.24)
Так как расстояние r от центра звезды меняется в фотосфере в очень небольших пределах, то вместо уравнения (1.23) имеем
0
H
d
=
const.
(1.25)
Таким образом, при рассмотрении поля излучения в фотосферах «обычных» звёзд следует пользоваться уравнениями (1.24) и (1.17) или уравнениями (1.24) и (1.25).
§ 2. Теория фотосфер при коэффициенте поглощения, не зависящем от частоты
1. Основные уравнения.
Первоначально в теории фотосфер делалось предположение о независимости коэффициента поглощения от частоты, ведущее к существенному упрощению теории. В дальнейшем, однако, было установлено, что это предположение является весьма грубым. Тем не менее теория фотосфер при коэффициенте поглощения, не зависящем от частоты, продолжает сохранять своё значение, так как она может рассматриваться как первое приближение к более строгой теории.
Считая, что коэффициент поглощения не зависит от частоты (т.е. =), вместо уравнения переноса излучения (1.24) и уравнения лучистого равновесия (1.17) получаем
cos
dI
dr
=-
I
+
,
(2.1)
4
0
d
=
d
0
I
d
.
(2.2)