Чтение онлайн

Используемый временной горизонт не имеет значения при условии, что он одинаковый для всех рассматриваемых компонентов. Если речь идет о прибыли, неважно, что мы используем: год, квартал, 5 лет или день, — пока ожидаемые прибыли и стандартные отклонения для всех рассматриваемых компонентов име­ют одни и те же временные рамки.

Ожидаемая прибыль — это то же самое, что и потенциальная прибыль, а дисперсия (или стандартное отклонение) ожидаемых прибылей ~ то же самое, что и потен­циальный риск. Отметьте, что данная модель двумерная. Мы можем сказать, что модель представлена правым верхним квадрантом декартовой системы коорди­нат (см. рисунок 6-1), где по вертикали (ось Y) откладывается ожидаемая при­быль, а по горизонтали (ось X) откладывается ожидаемая дисперсия, или стандар­тное отклонение прибылей.

Рисунок 6-1 Правый верхний квадрант декартовой системы координат

Есть и другие аспекты потенциального риска, такие как потенциальный риск (ве­роятность) катастрофического убытка, который теория Е — V не рассматривает отдельно от дисперсии прибылей. Мы не будем изучать эту концепцию в данной главе, а будем обсуждать теорию Е — V в классическом варианте. Марковиц также утверждал, что портфель, полученный из теории Е — V, оптимален только в том случае, если полезность, т.е. «удовлетворение» инвестора, является лишь функци­ей ожидаемой прибыли и дисперсии ожидаемой прибыли. Марковиц указал, что инвестор может использовать и более высокие моменты распределения, а не только первые два (на которых основана теория Е — V), например асимметрию и эксцесс ожидаемых прибылей.

Потенциальный риск — очень емкое понятие, он является функцией гораз­до большего числа переменных и включает более высокие моменты распределе­ний. Тем не менее мы будем определять потенциальный риск как дисперсию ожидаемых прибылей. Не следует, однако, полагать, что этим риск полностью определен. Риск намного шире, и его реальная природа плохо поддается коли­чественной оценке.

Первое, что должен сделать инвестор, желающий использовать теорию Е — V, это придать количественный смысл своим предположениям относи­тельно ожидаемых прибылей и дисперсий прибылей рассматриваемых цен­ных бумаг на определенном временном горизонте (периоде удержания). Эти параметры можно получить эмпирически. Инвестор может рассмотреть про­шлую историю ценных бумаг и рассчитать прибыли и их дисперсии за опреде­ленные периоды. Как уже было отмечено, термин «прибыли» означает не толь­ко дивиденды по ценной бумаге, но и любые повышения стоимости ценной бумаги (в процентах). Дисперсия является статистической дисперсией про­центных прибылей. Для определения ожидаемой прибыли в период удержа­ния можно использовать линейную регрессию по прошлым прибылям. Дис­персия как входной параметр определяется путем расчета дисперсии каждой прошлой точки данных на основе ее спрогнозированного значения (а не на основе линии регрессии, рассчитанной для прогнозирования следующей ожидаемой прибыли). Вместо того чтобы определять эти значения эмпири­ческим способом, инвестор может оценить значения будущих прибылей и дисперсий [25] . Возможно, наилучшим способом нахождения параметров явля­ется комбинация обоих подходов. Инвестору следует использовать эмпири­ческий подход (т.е. использовать исторические данные), затем, если это необ­ходимо, можно учесть прогноз относительно будущих значений ожидаемых прибылей и дисперсий. Следующими параметрами, которые должен знать инвестор для использования данного метода, являются коэффициенты линейной корреляции прибылей. Эти параметры можно получить эмпирически, путем оценки или с помощью комби­нации обоих подходов.

При определении коэффициентов корреляции важно использовать точки данных того же временного периода, который был использован для определения ожидаемых прибылей и дисперсий. Другими словами, если вы используете годо­вые данные для определения ожидаемых прибылей и дисперсии прибылей (т.е. ведете расчеты на годовой основе), следует использовать годовые данные и при определении коэффициентов корреляции. Если вы используете дневные данные для определения ожидаемых прибьыей и дисперсии прибылей (т.е. ведете расче­ты на дневной основе), тогда вам следует использовать дневные данные для опре­деления коэффициентов корреляции. Вернемся к нашим четырем инвестициям — Toxico, Incubeast Corp., LA Garb и сберегательному счету. Присвоим им символы Т, 1, L и S соответственно. Ниже приведена таблица их коэффициентов линейной корреляции:

На основе полученных параметров мы можем рассчитать ковариацию между дву­мя ценными бумагами:

Стандартные отклонения Sa и Sб можно найти, взяв квадратный корень диспер­сии ожидаемых прибылей для ценных бумаг а и б. Вернемся к нашему примеру. Мы можем определить ковариацию между Toxico (Т) и Incubeast (I) следующим образом:

Зная ковариацию и стандартные отклонения, мы можем рассчитать коэффици­ент линейной корреляции:

Отметьте, что ковариация ценной бумаги самой к себе является дисперсией, так как коэффициент линейной корреляции ценной бумаги самой к себе равен 1:

Теперь можно создать таблицу ковариаций для нашего примера с четырьмя инве­стиционными альтернативами:

Мы собрали необходимую параметрическую информацию и теперь попытаемся сформулировать основную проблему. Во-первых, сумма весов ценных бумаг, со­ставляющих портфель, должна быть равна 1, так как операции ведутся на денеж­ном счете, и каждая ценная бумага полностью оплачена:

где N == число ценных бумаг, составляющих портфель;

Х = процентный вес ценной бумаги L

Важно отметить, что в уравнении (6.04) каждое значение Х должно быть неотрица­тельным числом.

Следующее равенство относится к ожидаемой прибыли всего портфеля — это Е в теории Е — V. Ожидаемая прибыль портфеля является суммой прибылей его компонентов, умноженных на соответствующие веса:

где Е = ожидаемая прибыль портфеля;

N = число ценных бумаг, составляющих портфель;

Xi = процентный вес ценной бумаги i;

Ui= ожидаемая прибыль ценной бумаги i. И наконец, мы подошли к параметру V, т. е дисперсии ожидаемых прибылей:

Нашей целью является поиск значений Х (причем их сумма равна единице), ко­торые дают наименьшее значение V для определенного значения Е. Максимизи­ровать (или минимизировать) функцию Н(Х, Y) при наличии условия или огра­ничения G(X, Y) можно с помощью метода Лагранжа. Для этого зададим функцию Лагранжа F(X, Y, L):

(6.07) F(X,Y,L) = H(X,Y) + L * G(X,Y)

Обратите внимание на форму уравнения (6.07). Новая функция F(X,Y,L) равна множителю Лагранжа L (его значение мы пока не знаем), умноженному на огра­ничительную функцию G(X,Y), плюс первоначальная функция H(X,Y), экстре­мум которой мы и хотим найти.

Решение этой системы из трех уравнений даст точки (X1Y1) относительного экстремума:

FxX,Y,L) = О Fy(X,Y,L) = О FL(X,Y,L) = О

Допустим, мы хотим максимизировать произведение двух чисел при условии, что их сумма равна 20. Пусть Х и Y два числа. Таким образом, H(X,Y) = Х * Y является функцией, которая должна быть максимизирована при нали­чии ограничительной функции G(X,Y) = Х + Y - 20 = 0. Зададим функцию Лагранжа: