Чтение онлайн

Z(T, U - Y)= теоретическая цена опциона, когда цена базового инструмента равна U - Y, а время, оставшееся до срока истечения, равно Т;

Р(Т, U) = вероятность того, что базовый инструмент равен U, когда время, оставшееся до истечения срока исполнения,

равно Т,

Y = разность между арифметическим математическим ожиданием базового инструмента (согласно уравнению (5.10)) и текущей ценой.

Обратите внимание, что единственным отличием уравнения (5.14) для одиноч­ной длинной опционной позиции от уравнения (5.20) для одиночной короткой позиции является выражение (Z(T, U-Y)/S-1), которое заменяется на (1-Z(T, U - Y) / S). Все остальное в отношении одиночной длинной опционной позиции верно и для одиночной опционной короткой позиции.

Одиночная позиция по базовому инструменту

В главе 3 мы подробно рассмотрели математику поиска оптимального f пара­метрическим способом. Теперь мы можем использовать тот же метод и для

одиночной длинной опционной позиции с учетом нового HPR, которое рассчи­тывается по уравнению (3.30):

где HPR(U) = HPR для данного U;

L= ассоциированное P&L;

W = ассоциированное P&L худшего случая (это всегда отрица­тельное значение);

f == тестируемое значение f;

Р = ассоциированная вероятность.

Для длинной позиции переменная L, т.е. ассоциированное P&L, определяется как разность между ценой базового инструмента U и ценой S.

(5.21 а) L для длинной позиции = U - S

Для короткой позиции ассоциированное P&L рассчитывается наоборот:

(5.216) L для короткой позиции = S - U,

где S = текущая цена базового инструмента;

U = цена базового инструмента для данного HPR.

Мы можем также рассчитать оптимальное f для одиночной позиции по базовому инструменту, используя уравнение (5.14). При этом надо иметь в виду, что опти­мальное f может получиться больше 1.

Пусть цена базового инструмента равна 100, и мы ожидаем пять результатов:

Отметьте, что исходя из уравнения (5.10) наше арифметическое математическое ожидание по базовому инструменту составляет 100,576923077. Это означает, что переменная Y для (5.14) равна 0,576923077, так как 100,576923077-100= = 0,576923077. Если рассчитать оптимальное f, используя столбец P&L и уравнение (3.30), мы получим f= 1,9, что соответствует 1 единице на каждые 52,63 дол­лара на счете. Если в уравнении (5.14) использовать данные из столбца «Результат», тогда пе­ременная S равна 100. В этом случае мы не вычитаем значение Y (арифметическое математическое ожидание базового инструмента минус его текущая цена) из U при определении переменной Z(T, U - Y), и получаем оптимальное f около 1,9, что соответствует 1 единице на каждые 52,63 доллара на счете, так как

100 /1,9=52,63.

Если вычесть значение Y в выражении Z(T, U - Y), являющемся элементом уравнения (5.14), мы получим математическое ожидание по базовому инструменту, равное его текущему значению, и поэтому f не будет оптимальным. Тем не менее нам следует вычесть значение Y в Z(T, U - Y) для того, чтобы соответствовать расче­там цен опционов, а также формуле «пут-колл» паритета. Если мы будем использовать уравнение (3.30) вместо уравнения (5.14), тогда из каждого значения U в (5.21а) и (5.216) следует вычесть значение Y, то есть надо вычесть Y из каждого P&L, что опять же создает ситуацию, когда нет положительного математического ожидания, и поэтому нет оптимального значения f. Все вышесказанное означает, что если мы откроем позицию по базовому инстру­менту, не имея никаких представлений о направлении движения его цены, то не по­лучим положительного математического ожидания (как происходит с некоторыми опционами) и поэтому не найдем оптимального f. Мы можем получить оптимальное f только в том случае, когда математическое ожидание положительное. Это произой­дет, если базовый инструмент «в тренде».

Теперь у нас есть методология, позволяющая определить оптимальное f (и его побочные продукты) для опционов и базового инструмента (разными способами). Отметьте, что используемые в этой главе методы определения оптимальных f и побочных продуктов для опционов или базового инструмента не требуют обязательного применения механической системы. Вспомним, что эмпири­ческий метод поиска оптимального f основан на эмпирическом потоке P&L, созданном механической системой. Из главы 3 мы узнали о параметрическом методе поиска оптимального f на основе данных, которые имеют нормальное распределение. Тот же метод можно использовать для поиска оптимального f при любом распределении данных, если существует функция распределения. Из главы 4 мы познакомились с параметрическим методом поиска оптималь­ного f для распределений торговых P&L, которые не имеют функций распреде­ления (для механической или немеханической системы) и с методом планиро­вания сценария.

В этой главе мы изучили метод поиска оптимального f для немеханических систем. Обратите внимание, все расчеты допускают, что вы в некоторый мо­мент времени «слепо» открываете позицию, причем направленного движе­ния цены базового инструмента не ожидается. Таким образом, предложен­ный метод лишен какого-либо прогноза относительно цены базового инстру­мента. Мы увидели, что можно учесть ценовой прогноз, изменяя каждый день значение базового инструмента в уравнениях 5.17а и 5.176. Даже слабый тренд значительно меняет функцию ожидания. Оптимальная дата выхода мо­жет не быть теперь рыночным днем сразу после дня входа, более того, опти­мальная дата выхода может стать датой истечения срока. В таком случае оп­цион будет иметь положительное математическое ожидание, даже если его держать до даты истечения. При небольшом тренде цены базового инстру­мента значительно изменится не только функция ожидания, но и оптималь­ные f, AHPR и GHPR.

Проиллюстрируем вышесказанное на следующем примере. Пусть цена ис­полнения колл-опциона равна 100 и он истекает 911120, цена базового инстру­мента равна также 100. Волатильность составляет 20%, а сегодняшняя дата 911104. Мы будем использовать формулу товарных опционов Блэка (Н нахо­дим из уравнения (5.07), R = 5%) и 260,8875-дневный год. Для 8 стандартных отклонений рассчитаем оптимальные f (чтобы соответствовать прошлым таб­лицам, которые не учитывают тренд по базовому инструменту), и используем минимальное приращение тика 0,1. В данном случае мы будем учитывать тренд, при котором цена базового инструмента растет на 0,01 пункта (одну де­сятую тика) в день:

Отметьте, как небольшой тренд (0,01 пункта в день) меняет результаты. Наша оптимальная дата выхода остается 911105, но оптимальное f= 0,1081663, что соответствует 1 контракту на каждые 2645 долларов на балансе счета (2,861* * 100 / 0,1081663). Кроме того, для этого опциона ожидание положительно все время до 911107. Если тренд будет сильнее, результаты изменятся еще больше. Последнее, что необходимо учесть, — это размер комиссионных. Цена опцио­на из уравнения (5.14) (значение переменной Z(T, U - Y)) должна быть уменьшена на размер комиссионных (если с вас берут комиссионные и при открытии по­зиции, то вы должны увеличить значение переменной S из уравнения (5.14) на размер комиссионных).

Мы рассмотрели поиск оптимального f и его побочных продуктов, когда меха­ническая система не используется. Теперь перейдем к изучению одновременной торговли по нескольким позициям.

Торговля по нескольким позициям при наличии причинной связи

Прежде чем начать обсуждение одновременной торговли по нескольким по­зициям, необходимо пояснить разницу между причинными связями и корре­ляционными связями. В случае с причинной связью существует фактическое, связующее объяснение корреляции между двумя или более событиями, т. е. причинная связь — это такое отношение, где есть корреляция, и ее можно объяснить логически. Обычная корреляционная связь подразумевает, что есть зависимость, но этому нет причинного объяснения. В качестве примера при­чинной связи давайте рассмотрим пут-опционы и колл-опционы на акции IBM. Очевидно, что корреляция между пут и колл-опционами IBM составля­ет -1 (или находится очень близко к этому значению), но эта связь означает больше, чем просто корреляция. Мы знаем, что, когда по колл-опционам IBM возникает давление вверх, появляется давление и вниз по пут-опционам (все остальное считается постоянным, включая волатильность). Описанное логическое связующее отношение означает, что между пут и колл-опционами IBM существует причинная связь.