Чтение онлайн

Для опционных «ног», занесенных в кредит, или короткой позиции по базовому инструменту:

где f = тестируемое значение f;

S = текущая цена опциона;

Z(T, U - Y) = теоретическая цена опциона, когда цена базового инстру­мента равна U - Y, а время, оставшееся до срока истечения, равно Т;

Pj(T, U) = вероятность того, что базовый инструмент равен U, когда время, оставшееся до истечения срока исполне­ния, равно Т;

Y = разность между арифметическим математическим ожи­данием базового инструмента (согласно уравнению (5.10)) и текущей ценой.

Теперь мы можем рассчитать среднее геометрическое HPR для случайной связи:

где G(f, Т) = среднее геометрическое HPR для данного тестируе­мого значения f и данного времени Т, остающегося до истечения срока от указанной даты выхода. Зна­чения f и Т, которые дают наибольшее среднее геометрическое, оптимальны. Структура этой процедуры такая же, как и в случае с причинной связью:

Для каждой даты выхода между текущей датой и датой истечения

Для каждого значения f (пока не будет найдено оптимальное)

Для каждой рыночной системы

Для каждого тика между +8 и -8 стандартными отклонениями

Определите HPR

Единственное различие между процедурой нахождения среднего геометрического для случайных связей и процедурой для причинных связей состоит в том, что пока­затель степени для каждого HPR при случайной связи рассчитывается путем умно­жения вероятностей того, что «ноги» будут находиться на данной цене определен­ного HPR. Все эти суммы вероятностей, используемые в качестве показателей сте­пени для каждого HPR, сами по себе также суммируются, так что, когда все HPR перемножены для получения промежуточного TWR, его можно возвести в степень единицы, деленной на сумму показателей степени, используемых в HPR. И снова процедуру можно изменить, чтобы найти оптимальные даты выхода для каждой составляющей позиции.

Несмотря на всю сложность, уравнение (5.25) все-таки не решает проблему ненулевого коэффициента линейной корреляции между ценами двух компо­нентов. Как видите, определение оптимальных весов компонентов является до­вольно сложной задачей! В следующих нескольких главах вы увидите, как найти правильные веса для каждой составляющей позиции, будь то акция, товар, опцион или любой другой инструмент, независимо от связи (причинная, случай­ная или корреляционная). Входные данные, которые нам потребуются, следую­щие: (1) коэффициенты корреляции средних дневных HPR позиций в портфеле на основе 1 контракта, (2) арифметические среднее HPR и стандартные откло­нения HPR.

Уравнения (5.14) и (5.20) показывают, как находить HPR для длинных и коротких позиций по опционам. Уравнение (5.18) показывает, как находить среднее геометри­ческое. Мы можем также определить среднее арифметическое:

Для длинных опционных позиций, т.е. отнесенных в дебет:

Для коротких опционных позиций, т.е. отнесенных в кредит:

где AHPR = среднее арифметическое HPR;

f= оптимальное f (от 0 до 1);

S= текущая цена опциона;

Z(T, U - Y)= теоретическая цена опциона, когда цена базового инстру­мента равна U - Y, а время, оставшееся до срока истечения, равно Т;

Р(Т, U) = вероятность, что базовый инструмент равен U, когда время, ос­тавшееся до истечения срока исполнения, равно Т;

Y= разность между арифметическим математическим ожидани­ем базового инструмента (согласно уравнению (5.10)) и теку­щей ценой.

Зная среднее геометрическое HPR и среднее арифметическое HPR, можно опре­делить стандартное отклонение значений HPR:

где А = арифметическое среднее HPR;

G = геометрическое среднее HPR;

SD = стандартное отклонение значений HPR.

В этой главе мы познакомились еще с одним способом расчета оптимального f. Предложенный метод подходит для несистемных трейдеров. В виде входного па­раметра здесь используется распределение результатов по базовому инструменту к определенной дате в будущем. Данный подход позволяет найти оптимальное f как для отдельных опционных позиций, так и для сложных позиций. Существен­ным недостатком метода является то, что связи между всеми позициями должны быть случайными или причинными.

Означает ли вышесказанное, что мы не можем использовать методы поиска оптимального f, рассмотренные в предыдущих главах, для нескольких одновре­менно открытых позиций или опционов? Нет, вы всегда можете выбрать наиболее эффективный с вашей точки зрения подход. Методы, детально описанные в этой главе, имеют как определенные недостатки, так и достоинства (например воз­можность расчета оптимального времени выхода). В следующей главе мы будем изучать темы, касающиеся построения оптимального портфеля, что позднее по­может нам в управлении капиталом при одновременной торговле по нескольким позициям.

Цель этой книги — изучить портфели рыночных систем, использующих раз­личные инструменты с различных рынков. В данной главе мы достаточно подроб­но рассмотрели теоретические цены опционов и теперь перейдем к созданию оп­тимального портфеля.

Глава 6

Корреляционные связи и выведение эффективной границы

Мы узнали несколько способов поиска оптимального количества при торговле фьючерсами, акциями и опционами (по отдельнос­ти или совместно с другими инструментами), когда существует либо случайная, либо причинная связь между ценами инструмен­тов. Можно определить оптимальный набор, когда коэффици­ент линейной корреляции двух любых элементов портфеля равен 1, - 1 или 0. Однако связи между двумя элементами портфеля, рассматриваем ли мы корреляцию цен (в немеханической торго­вой системе) или изменений баланса (в механической системе), редко дают такие удобные значения коэффициентов линейной корреляции. В этой главе описан способ определения эффективной границы портфелей рыночных систем, когда коэффициенты линейной кор­реляции любых двух компонентов рассматриваемого портфеля принимают произвольные значения между -1 и 1 включительно. Далее описан метод, применяемый профессионалами для расчета оптимальных портфелей акций. В следующей главе мы адаптируем его для использования любых инструментов. Данная глава основана на важном предположении, которое зак­лючается в том, что распределения, генерирующие последова­тельность сделок (распределения прибылей), имеют конечную дисперсию. Предложенные методы эффективны только тогда, когда используемые входные данные имеют конечную дисперсию [24] .

Определение проблемы

На некоторое время оставим саму идею оптимального f (мы вернемся к нему поз­же). Легче всего понять параметрическое выведение эффективной границы, если рассмотреть портфель акций. Будем исходить из того, что эти акции находятся на денежном счете и полностью оплачены, т.е. они куплены не за счет кредита, полу­ченного от брокерской фирмы (не на маржинальном счете). С учетом этого ограничения мы выведем эффективную границу портфелей, т.е. из предложенных акций создадим комбинацию, которая будет иметь наименьший уровень ожидаемого риска для данного уровня ожидаемого выигрыша. Эти уровни задаются степенью неприятия риска инвестором. Теория Марковица (или Совре­менная теория портфеля) часто называется теорией Е— V (Expected return (ожида­емая прибыль) —Variance of return (дисперсия прибыли)). Отметьте, что входные параметры основаны на данных по прибыли, таким образом, входные данные для выведения эффективной границы — это прибыли, которые мы ожидаем по данной акции, и дисперсия, которая ожидается от этих прибылей. Прибыли по акциям оп­ределяются как дивиденды, ожидаемые за определенный период времени, плюс повышение рыночной стоимости акций (или минус уменьшение) за этот же пери­од, выраженные в процентах. Рассмотрим четыре потенциальные инвестиции, три из которых — в акции, а одна — в сберегательный счет с процентной ставкой 8 1/2% в год. Отметьте, что в этом примере продолжительность периода инвестирования (когда мы измеряем прибыли и их дисперсии) — 1 год:

Если прибавить к значению ожидаемой прибыли единицу, мы получим HPR. Так­же мы можем извлечь квадратный корень из значения ожидаемой дисперсии при­были и получить ожидаемое стандартное отклонение прибыли.