Чтение онлайн

В целом, понятие мощности множеств играет важную роль в математике и её прикладных областях, так как позволяет формализовать количество элементов в множествах и осуществлять различные операции и вычисления на основе этих данных.

"Универсум множеств" относится ко всей совокупности множеств, которые можно определить в данном контексте. В математических терминах это часто соответствует конкретной модели теории множеств, такой как теория множеств Цермело-Френкеля с аксиомой выбора (ZFC), которая является наиболее широко принятой основой современной математики.

В целом, универсум множеств обеспечивает строгую структуру для организации, анализа и рассуждения о коллекциях объектов, что делает её фундаментальным инструментом в математике и ее приложениях в различных дисциплинах.

В теории множеств, утверждения или утверждения о множествах представляются в виде сценариев. Сценарий – это некоторое представление или модель, описывающая состояние множества или отношения между множествами в данном контексте.

Каждое свойство теории множеств может иметь разные сценарии, т.е. различные способы его интерпретации или представления. Например, понятие бесконечности множества может иметь разные сценарии в зависимости от выбора аксиом теории множеств или используемой модели множеств.

Сценарии позволяют более удобно описывать и анализировать свойства множеств и отношения между ними, а также проводить рассуждения и выводы на их основе. Они помогают упростить и структурировать знания о множествах, делая их более понятными и доступными для исследования.

Кардиналы и ординалы – это понятия из области математики.

Ординальные числа – это числа, которые используются для определения порядка или расположения элементов в множестве. Ординальные числа обычно представляют собой конкретный порядковый тип.

Например, первый, второй, третий элементы множества – это ординальные числа.

Ординалы учитывают порядок элементов и важны для упорядочения данных или объектов.

Кардинальные числа – это числа, которые используются для определения размера и/или "мощности" множества. Кардинальное число показывает количество элементов в данном множестве.

Например, если множество содержит 5 элементов, то его кардинальное число равно 5.

Кардиналы учитывают количество элементов и используются для определения равномощности множеств или для сравнения их размеров.

Таким образом, ординалы связаны с порядком элементов, а кардиналы – с количеством элементов в множестве.

Майкл и Константин решили посетить самую большую очередь в мире. Это была очередь на великий вечный пустотный корабль Ягеба. Майкл и Константин решили проанализировать эту очередь. Очередь состояла из цифр.

– Йоу, какой ты? – Спросила цифра 3.

– В смысле? – Не понял Майкл

– Ну, ты натуральный или химик – отрицательное число которому было лень самому качаться? Может ты вообще голубой который у нас считается мнимым? Сюда можно вставать только натуральным числам! Никаких примесей и ботокса, а также гомосятины.

Константину явно не понравились такие высказывания и поэтому он ударил цифру 3.

– Эй, тройка! Хватит там права качать!

– А вам, не натуральным существам…. Да вы даже не числа! Вы не то что не должны тут стоять, вам вообще существовать в этой реальности не должно! Проваливайте! Вам здесь не рады! – Разозлилась тройка.

– Какие-то тут все злые… – Вслух подумал Майкл.

Как учёные выяснили, имели право встать в очередь лишь натуральные числа, а остальным это было запрещено. Корабль был настолько крутой, что каждое натуральное число хотело его получить. Чем больше было число, тем раньше оно успело занять очередь.

– Я понял, эта очередь – аллегория на множество натуральных чисел! – Воскликнул Майкл. – По сути, очередь содержит все натуральные числа по порядку. Но это значит, что те, кто первые встали в очередь бесконечного размера? Сложно…. В любом случае удивляет то, что ряд двигается, а значит, какие-то числа забрали этот корабль, а этих кораблей бесконечное количество.

– Обычно мы представляем множество натуральных чисел как то, что имеет начало, но не имеет конца, так что не думаю, что стоит над этим много думать, – прервал раздумья Майкла Константин.

Однажды Майкл и Константин нашли великий мост координатной прямой. Расстояние было выражено в какой-то омеге, но что эта “омега” значит? Надо помнить, что в этом мире вещественные бесконечности, которые могут означать, например, гипотетическое бесконечное количество объектов, выражены не в кардиналах, а в ординалах. То есть тут легко может быть омега яблок, к примеру. И вот бесконечная прямая идёт ввысь вверх, и Майкл и Константин хотят изучить её.

С каждым метром значение прямой достигало новой цифры. 1… 2… 3… 48… миллион… Триллион… Квинтиллион… Гугол… Гуголплекс… Число Грэма… Число Райо… Ультимейт Обливион… Омега! И оказалось, что эта координатная прямая была буквально линейкой роста для существа. Оно объяснило Майклу и Константину, что ординалы тут нужны, а кардиналы – мусор лишь по той причине, что тут действует теория относительной бесконечности. Вот, допустим, есть ты, есть бесконечный по размеру объект, а есть бесконечно малый объект. Для бесконечно малого объекта ты будешь бесконечно большим. Ну и что, чувствуешь прям своим нутром, как ты равен бесконечному объекту? А то-то же.

Бесконечность сама по себе относительна. Эта теория где только не встречается: и в рекурсии, и в размерности. Двумерный квадрат может вместить бесконечность одномерных линий, а трёхмерный куб может вместить бесконечность квадратов. Конечно, куб поместит больше, чем квадрат, ведь каждый квадрат уже содержит бесконечность одномерных линий. И алеф-нули тут вообще не к месту, возведёшь алеф-нуль в степень алеф-нуль – и он не изменится! Вот я свой рост измеряю омегами! Омега = 1 метр относительно меня (когда создавали метрическую систему, мои предки, конечно же, отталкивались от окружающего мира, который для них конечный, но бесконечный для вас, и они решили свой рост сделать единицей), ну тогда ?x2 будет 2 метра, и так далее. Например, длина нашей планеты будет ?x74545645. Однако то, что размером омега в квадрате будет даже бесконечным для нас, ведь это буквально омега умножить на омегу, что будет равняться омега метров по нашей метрической системе.

Но придёт легендарный народ, для которого омега в квадрате будет одним метром, и для них омега в кубе будет бесконечной и т.д. Интересный факт: в нашем мире бесконечномерный объект может содержать омега в степени омега одномерных объектов.

– Забавно, мы молча летали и встретили тебя, и ты сразу начал нам рассказывать про этот интересный мир, – опустив глаза, задумчиво произнёс Майкл.

– Да я просто ваши мысли умею читать, и да, у меня бесконечно зоркое зрение, поэтому я вас заметил, – сказало существо.

– Воу, он ответил на вопрос про зрение до того, как я спросить успел про него, – удивился Константин. Неизвестно, сделал он это серьёзно или с сатирой, но было правдоподобно.

Майкл и Константин отправились дальше.

Алеф-нуль – это мощность множества всех натуральных чисел. Если прибавить единицу к алеф-нуль, его количество не изменится и всё так же будет тождественно алеф0. Но если расположить числа по порядку и настоять на том, что прибавленная единица будет идти после всех натуральных чисел, то получится омега. Это первое бесконечное ординальное число. Порядковые числа работают иначе, чем кардинальные, и ?+1 будет ничуть не больше ?, просто оно будет идти после него. Ряд типа ?+1, ?+2, ?+3… может продолжаться до бесконечности. Но то, что идёт после этого, является ?+? или же ?x2. Далее идёт ?x3, ?x4…?x?, потом ?^?, ?^?^?… Тетрацию ординалов ?[4]? принято обозначать ?0 – эпсилон-нуль. Из эпсилона также можно составлять иерархии. И в принципе так может продолжаться без конца. Мы называем это схема преобразования множеств. Один из самых больших таких ординалов – ?(????…) – Ординал Ратчена. Следует отметить, что Ординал Ратчена не является самым большим, но достаточно большой, чтобы на нём остановиться. Но также существует ординал, который следует за всеми трансфинитными ординалами, созданными при помощи любых мыслимых рекурсий. Это Ординал Черча-Клина, и записывают его вот так: ?CK. А то, что идёт после всех возможных способов разложения алеф-нуль элементов называется ?1. (не путать с ?+1)