Приключения Майкла и Константина
Шрифт:
?1 – это первый несчётный ординал, который следует за всеми счётными ординалами.
Алеф-один – это мощность множества всех счётных порядковых чисел, которое обозначается ?1. (каждому кардиналу соответствует свой какой-либо ординал, и наоборот). Булеан множества (бесконечного или нет) всегда имеет строго большую мощность, чем само множество (проще говоря, булеан должен быть 'больше', чем исходное множество). Булеан множества натуральных чисел, например, можно поставить во взаимно-однозначное соответствие с множеством вещественных чисел. Таким образом можно создавать всё большие и большие бесконечности. Также если континуум-гипотеза верна, то B(?0) = алеф 1. (B это булеан). Алеф 2 – это мощность или размер множества всех действительных чисел в виде бесконечно широких кортежей. И так далее. Также есть алеф-бесконечность, алеф-омега и омега-омега. Далее идёт ??? и ???… И таким образом можно делать всё большие и большие преобразования, которым нет конца.
После бесконечной иерархии идёт иерархия структур где структура выше недостижима расширением иерархий структур ниже. Например, “нулевым слоем” можно назвать бесконечномерную иерархию который олицетворяет алеф нуль. Первый же слой олицетворяет алеф 1, следовательно, как бы ты не расширял бесконечномерную иерархию, ты бы не достиг алеф 1 структуру. Это как производить тетрацию ординалов, надеясь достигнуть ?1. Алеф 1 абсолютно недостижим к алеф 0 иерархии. То есть, нулевой слой имеет “силу” алеф нуля, первый слой алеф 1, второй слой алеф 2 и тд. Итак, иерархии, превосходящие другие иерархии, – это действительно чудо, поразившее Майкла и Константина, потому что без превосходства над бесконечно малой частицей, чтобы достичь такого уровня, необходимо было перемещаться в алеф-1 пространственной координате, и возможно ли это вообще?
Но за пределами всего этого стоит недостижимый кардинал. Его невозможно достичь никакими преобразованиями снизу. Концептуальный скачок от ничего до первой бесконечности – то же самое, что скачок от первой бесконечности до недостижимого кардинала.
?n, < недостижимость (inaccessible) где n – любая мыслимая мощность бесконечности.
Существует такое множество, величину которого нельзя описать принятым ранее математическим языком. Такое множество называют неописуемой недостижимостью (Indescribable Inaccessible). Такую недостижимость мы даже не можем выразить, используя значок "?", как мы сделали это с обычной недостижимостью, ведь согласно определению – это невозможно. Математики лишь утверждают, что:
Недостижимость < Неописуемая недостижимость.
И всё изложенное выше содержится лишь в среднем нарративе бесконечно малой частицы. В одном из таких средних нарративов содержится также алеф-бесконечность пространственных измерений, недостижимый кардинал измерений и т.д. В общем, там находится всё, что было написано ранее в виде измерений.
В математике есть и другие придуманные аксиомы, которые создают ещё большие недостижимости. Вот их неполный перечень, расставленный в порядке возрастания:
недостижимость (INACCESSIBLE)
гипер-недостижимость (HYPER-INACCESSIBLE)
n-гипер-недостижимость (N-HYPER-INACCESSIBLE)
слабо компактная недостижимость (WEAKLY COMPACT INACCESSIBLE)
неописуемая недостижимость (INDESCRIBABLE INACCESSIBLE)
несворачиваемая недостижимость (UNFOLDABLE INACCESSIBLE)
итерируемая недостижимость (INEFFABLE INACCESSIBLE)
рамсеевкая недостижимость (RAMSEY INACCESSIBLE)
измеримая недостижимость (MEASURABLE INACCESSIBLE)
сильная недостижимость (STRONG INACCESSIBLE)
сильно компактная недостижимость (STRONGLY COMPACT INACCESSIBLE)
сверхсильная недостижимость (SUPERSTRONG INACCESSIBLE)
сверхкомпактная недостижимость (SUPERCOMPACT INACCESSIBLE)
расширяемая недостижимость (EXTENDIBLE INACCESSIBLE)
n-сверхсильная недостижимость (N-SUPERSTRONG INACCESSIBLE)
почти гигантская недостижимость (ALMOST HUGE INACCESSIBLE)
гигантская недостижимость (HUGE INACCESSIBLE)
сверхгигантская недостижимость (SUPERHUGE INACCESSIBLE)
n-гигантская недостижимость (N-HUGE INACCESSIBLE)
разрядовая недостижимость (RANK-INTO-RANK INACCESSIBLE)
Но давайте не забегать вперёд.
Махло кардинал – это кардинал, для которого множество всех возможных регулярных кардиналов меньших него стационарно. Разберём детальнее, что это значит. Для каждой последовательности регулярных кардиналов можно определить предельный кардинал, который так же будет предельным ординалом:
?0, ?1, ?2, ?3, …, ??
I, ?I+1, ?I+2, ?I+3, …, ?I+?
I2, ?I2+1, ?I2+2, ?I2+3, …, ?I2+?
I, I2, I3, I4, …, I?
I(2,0), I(2,1), I(2,2), I(2,3), …, I(2,?)
I(1,0), I(2,0), I(3,0), I(4,0), …, ?I(?,0)(0)
I(1,0), I(1,0,0), I(1,0,0,0), I(1,0,0,0,0), …, ?I(1?)(0)
Тогда Махло кардинал, будет таким, который будет больше любого такого предельного кардинала, так чтобы множество регулярных кардиналов было для него стационарным. То есть Махло кардинал является пределом для всех регулярных ординалов меньше него, но и для их клубного сомножества предельных ординалов Махло кардинал тоже будет пределом, являясь большим по отношению к каждому члену этого клуба. Из этого следует, что по своим свойствам Махло кардинал так же должен быть регулярным, то есть соответствовать требованию: cf(М) = М (здесь и далее, будем обозначать Махло кардинал и соответствующий ему минимальный ординал большой буквой М). Регулярность Махло кардинала доказывается от обратного, вкратце, если бы он не был регулярным, то должен был бы существовать меньший по величине регулярный ординал, с помощью которого его можно было бы образовать, и тогда он являлся бы частью клуба предельных кардиналов, но как мы помним по определению он является для всех них пределом, значит не входит в их множество, и следовательно больше их. Ну а раз Махло кардинал является регулярным и при этом он предел, значит он так же предельный, тогда получается что по своим свойствам он ещё и недостижимый (которые по определению регулярные и предельные одновременно). Тем не менее, он будет больше любого ранее определённого нами недостижимого кардинала или гипер-недостижимого кардинала с любой мыслимой степенью недостижимости (потому что они всегда регулярные, а значит где-то за ними есть предельный кардинал из клубного сомножества; Махло кардинал же по определению является пределом и для тех и для других). Получается что множество всех мыслимых недостижимых и гипер-недостижимых кардиналов меньших него так же стационарно для Махло кардинала, как и множество всех регулярных кардиналов меньше него. То есть уже нет никаких сомнений, что Махло кардинал будет больше любого недостижимого, которого мы способны выразить с помощью иерархии Веблена, или какой-либо иной иерархии, способной учитывать степени недостижимости. Значит он идеально подходит нам в качестве диагонализатора для ординальной коллапсирующей функции.
Однако перед тем как мы будем разбираться в новой коллапсирующей функции основанной на Махло кардинале, следует вспомнить, что из-за недоказуемости обобщенной континуум-гипотезы мы были вынуждены разделить недостижимые кардиналы на слабонедостижимые и сильнонедостижимые, так же как раньше разделили несчетные на алеф-кардиналы и бет-кардиналы, это же придется сделать и с Махло кардиналом. Махло кардинал для которого стационарно множество регулярных алеф-кардиналов (и соответственно слабонедостижимых тоже) будет называться Слабым Махло кардиналом, а Махло кардинал для которого стационарно множество регулярных бет-кардиналов (и соответственно сильнонедостижимых тоже) будет называться Сильным Махло кардиналом. Если предположить правильность континуум-гипотезы, то Слабый Махло кардинал и Сильный Махло кардинал это один и то же кардинал, однако если предположить ложность континуум-гипотезы, то так же как это было с недостижимыми: Слабый Махло кардинал < Сильный Махло кардинал, и мы так же не можем предположить насколько первый меньше второго, он может быть даже меньше континуума (?1).
Функция Бухольца принимала в себя два аргумента: ??(n) – где ? – это регулярный кардинал, на основе которого происходит коллапсирование, а n – это ординал, основной аргумент функции, который собственно и коллапсируется, он может быть любым, но не должен превосходить по кардинальности ?. В целом функция ??(n), в случае |n| = ?, на выходе понижала кардинальность n, но увеличивала рекурсию получившегося ординала, так что ??k+1(?k+1) = ??k+1, и ??k(?k+?) = ???k(?k)+?.
< image l:href="#"/>Здесь придём к функции Ратъена. На самом деле это не одна, а целых две функции, и кроме ?-функции Ратъен определил еще и ?-функцию. Принципиальное отличие между ними заключается в том, что если ?-функция возвращает любые ординалы, то ?-функция возвращает всегда только регулярные ординалы. По определению, если n < I, то ?(n) – возвращает n-ный несчетный регулярный ординал (считая с нуля). Тут важно отметить, что ?-ный регулярный ординал это ??+1, потому что, как вы должны помнить из прошлой части, |??| = ?? – регулярным не является. Следовательно, пользуясь обозначениями коллапсирующей функции, мы получим следующие преобразования: ?(0) = ?, ?(1) = ?2, ?(2) = ?3, ?(?) = ??+1, ?(?) = ?(?(0)) = ??+1, ?(?) = ?(?(1)) = ??+2, ?(????…) = ?(???…+1) = ?Ф(1,0)+1, и т.д. В целом, принципы коллапсирования позволяют определить общее свойство ?(n) = ?n+1, гласящее что n-ный несчётный кардинал равен кардиналу, который предшествует n-ному несчетному регулярному кардиналу. Однако работает это свойство только пока аргумент функции меньше недостижимого кардинала (n < I).