Чтение онлайн

Понятие множества является основным математическим понятием в том смысле, что любой объект математического исследования является множеством. Обратное, однако, неверно. Не любое множество может являться объектом математического исследования. Для того чтобы оно могло таковым стать, множество должно быть корректно задано. Таким образом, множество в отличие от других математических понятий не определяется через другие понятия, а задается. Корректное задание множества каких бы то ни было объектов является первым и наиважнейшим актом подготовки множества исследуемых объектов для их анализа с помощью автоматического аппарата. В качестве примера некорректно заданного множества приведем известный парадокс Бертрана Рассела. Что делать брадобрею, который получил приказ брить всех, кто не бреется сам? Вопрос заключается в том, должен ли брадобрей брить себя самого, т. е. относится ли он к множеству бреющихся самостоятельно или же к множеству тех, кого бреет брадобрей, т. е. он сам, но если он бреет себя сам, то он не должен бриться брадобреем, и т. д. В этом случае условие, задающее множество, не является корректным, так как не позволяет решить вопрос о том, содержится в нем указанный брадобрей или нет. Следовательно, множество является заданным корректно тогда и только тогда, когда условие, задающее множество, позволяет относительно любого элемента, принадлежащего любому, а следовательно, и данному множеству, однозначно ответить на вопрос: принадлежит этот элемент данному множеству или нет? Таким образом, задание множества позволяет относительно всех существующих в мире объектов формулировать однозначные высказывания о принадлежности любого из этих объектов заданному множеству. В противном случае множество не является корректно заданным и, следовательно, не является множеством в точном смысле этого слова.

Использование абстрактных математических моделей в психологии, видимо, не ограничивается только описанием различных психических процессов и явлений. Познавательные психические процессы человека сами представляют собой модели объектов внешнего мира, и с этой точки зрения их удобно представлять теми или иными алгебраическими моделями. По ходу изложения мы будем стараться иллюстрировать эту мысль. Здесь мы покажем, что всякий отраженный в сознании человека объект является множеством (в точном смысле этого слова). Подтверждением тому может служить психологический принцип предметности восприятия, объясняющий факты, полученные в экспериментах с так называемыми двойственными изображениями (черный – белый крест, жена – теща, два профиля – ваза). Выяснено, что при рассматривании такой картинки человек может в каждый фиксированный момент времени воспринимать либо одно, либо другое изображение, но никогда не может видеть одновременно оба. Здесь нам, однако, могут возразить, что человек способен думать одновременно о двух нарисованных крестах. Действительно, посредством мысли человек может осуществить операции объединения этих объектов, получив в результате некоторое новое множество, но при этом в каждый фиксированный момент времени человек может думать только о каком-то конкретном множестве, даже если оно получено как комбинация других. В книге Ф.Д. Горбова и В.И. Лебедева (Горбов, Лебедев, 1975) описаны случаи, когда человек оказывался в условиях, требующих одновременной переработки информации о различных (или даже одинаковых, но по-разному заданных) множествах объектов. Авторы показывают, что в такой ситуации мозг человека отказывается работать, и наступает временная потеря сознания.

В приведенных примерах мы коснулись таких важных понятий, как подмножество данного множества, элемент множества, объединение множеств. Сейчас мы определим точно эти и некоторые другие важные понятия теории множеств. Введем некоторые обозначения. Как это и делается обычно, множества мы будем обозначать большими буквами латинского алфавита А, В,…., элементы соответствующих множеств – маленькими буквами a, i… Знак означает принадлежность элемента множеству. Например: а А означает, что а является элементом множества А. Если же он таковым не является, то используют знак : а А. Если имеем дело с множествами, состоящими более чем из одного элемента, то необходимо бывает различать свойства, присущие всем элементам данного множества, и свойства, присущие только какой-то их части или единственному элементу из всего множества. Символ а – означает «любой элемент а», а а «существует элемент а» (далее обычно следует указание – какой). Если важно подчеркнуть, что такой элемент в интересующем нас множестве только один, то пишут !а. Таким образом, любой элемент а либо является элементом данного множества А, либо не является им.

Введем теперь понятие подмножество множества, для чего нам понадобятся еще два символа: <=>, означающий «тогда и только тогда», и => означает «следует» (влечет). Запись В А<=>=в В=>в А может быть прочитана следующим образом: В является подмножеством А тогда и только тогда, когда каждый элемент из В является элементом А. Если же напротив, А является подмножеством В, то мы можем записать следующее: А В<=>=а А=>а В. Знак А обозначает конъюнкцию и может быть прочитан как союз «и»:

Выражение (1) означает, что каждый элемент множества В является элементом множества А и наоборот, каждый элемент множества А является элементом множества В. Легко видеть, что в этом и только в этом случае множества А и В состоят из одних и тех же элементов. Множества, состоящие из одних и тех же элементов, называют равными или находящимися в отношении равенства, что записывают А=В.

Таким образом, знак равенства означает, что А есть в точности то же самое множество, что и В, но может быть по-другому заданное.

Способов же задания множества существует бесконечно много. Однако все их можно разделить на две группы: 1) множество может быть задано перечислением своих элементов. В этом случае применяют запись

2) Множество может быть задано условием, позволяющим отличать его элементы среди всех других. В этом случае каждый элемент множества удовлетворяет заданному условию и ни один элемент, не принадлежащий данному множеству, не удовлетворяет указанному условию. Тогда применяется следующая запись:

Итак, мы определили понятия множества и подмножества. Полезно также ввести понятия надмножества как множества, содержащего данное множество:

и понятие пустого множества, как множества, не содержащего ни одного элемента (обозначается ). Пустое множество по определению является подмножеством любого множества. Введем теперь понятие объединения множеств. Множество С является объединением множеств А и В, если каждый элемент С является либо элементом А, либо элементом В. В принятой символике это можно записать так:

Аналогично можно определить понятие пересечения двух множеств. Множество С является пересечением множеств А и В, если каждый элемент С является одновременно и элементом А и элементом В, т. е. С есть множество общих элементов А и В. Если, однако, у А и В нет общих элементов, то С есть пустое множество. Это можно записать так:

Если В является подмножеством А, то можно определить понятие разность множеств А и В, как множество тех элементов А, которые не являются одновременно элементами множества В.

Разность А и В называется также дополнением В в А. Введем теперь понятие пары объектов. Этими объектами могут быть как элементы множеств, так и сами множества. В понятии пары кроме количества выбираемых объектов фиксируется также порядок их следования. Так, например, если A /= В, то две пары множеств (А, В) и (В, А) не являются равными: (А, В) /= (В, A). Рассмотрим теперь множество всех пар элементов множества А, оно называется декартовым квадратом множества и обозначается А2, Смысл такого названия в том, что если множество А содержит k элементов, то количество упорядоченных пар будет равно k2 .

Итак, декартов квадрат множества А сам является некоторым множеством. Любое его подмножество будем называть бинарным отношением, заданным на множестве А. (Отметим, что все другие виды отношений, которые можно определить на множестве А, также являются подмножествами, но уже не декартова квадрата А, а любой другой декартовой степени А, т. е. являются множествами троек, четверок и т. д. элементов из А.)

Так как понятие отношения является одним из важнейших понятий современной психологии, остановимся подробнее на уяснении смысла его точного определения, приведенного выше. Первое, что бросается в глаза, это то, что отношение является некоторым множеством. Это на первый взгляд противоречит тому смыслу, который вкладывается в понятие отношение в гуманитарных науках. На наш взгляд это противоречие является только кажущимся. Действительно, когда говорят об отношениях личности, отношениях между людьми, отношениях человека к тем или иным объектам внешнего мира, то создается впечатление, что выражение отношения не предполагает наличия какого-то множества, над которым это отношение можно было бы задать.